京大物理'09年[1]

京大物理'09年[1]

次の文を読んで、　　には適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。また、問1では指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

図1のように、トラックが荷台に荷物を置いた状態で水平面の直線道路上を走る。その速さは図2に示すように、時刻0から時刻Tまで一定の割合で増加し、速さvに達する。荷物の大きさは縦、横、高さがそれぞれa，b，hの直方体であり、その質量をmとし、重心位置は荷物の中心にあるものとする。また、トラックの荷台は常に路面と平行であり、荷台と荷物間の静止摩擦係数を

，動摩擦係数をμとし、重力加速度の大きさはgとする。
速さvをある値に定め、加速を停止するまでの時間Tを変化させることによる荷台上の荷物の動きを考察しよう。このとき、走り始めから時刻Tまでの加速度の大きさは　ア　である。
まず、荷物が荷台をすべらないように走行するための条件を考える。時間Tを長くとると荷物はすべらない。その間に荷物が荷台から受ける静止摩擦力は　イ　である。Tを短縮していくと荷物はすべり始める。荷物がすべらないためにはTはある値を越えていなければならない。その値を

としたとき

　ウ　である。
次に、荷物は荷台をすべってもよいが荷台からはみ出さない条件、すなわち荷物が荷台上を動く距離がLを越えない条件を考える。荷物が荷台をすべっているとき、荷物の荷台に対する加速度は走行方向とは逆方向で、その大きさは　エ　となる。したがって、時刻Tに至るまでに荷物がすべる距離は　オ　となり、時刻Tでの荷物の荷台に対する相対速度の大きさは　カ　となる。時刻T以降で、荷物が荷台の上で停止するまでに動く距離は　キ　であり、結局

　ク　の条件が得られる。
次に荷物がすべらずに転倒する場合を考えよう。ここでは転倒の初期段階として荷物が回転を始める状況を考える。荷物が、Pを通り紙面に垂直な軸を中心として回転を始めないためにはTはある値を越えていなければならない。その値を

としたとき、

　ケ　である。
荷物はすべるが回転を始めないための必要条件は、

と

の表式により、

　コ　であることがわかる。

このトラックが図3のように、半径Rの円周上を一定の速さVで走行している場合を考えよう。路面は内側に角度θで傾斜している。なお、Rに比べてトラックおよび荷物は十分小さいと仮定し、荷台面内での荷物の回転も起こらないものとする。

問1　荷物がすべっていない状況を考える。このとき荷物と荷台との間に静止摩擦力が働かない状態での力の成分を図示し、そのときのトラックの速さ(

とする)を求めよ。

トラックがこの円周上を速さ

で走行している場合を考える。その速さがある値を越えると荷物はすべり始める。そのときのトラックの速さは

　サ　である。また、転倒の初期段階として荷物の回転を考えた場合、トラックの速さがある値を越えると、荷物はQを通り紙面に垂直な軸を中心として回転を始める。そのときのトラックの速さは

　シ　である。したがって、荷物がすべり始めるときのトラックの速さと回転を始めるときのトラックの速さが一致する条件(荷物が回転を始めないための

がとり得る限界値)は

　ス　となる。

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解答　基本に忠実に考えていけば充分に解答可能ですが、ボリュームはたっぷりあります。

(ア)　時刻t (

)における加速度の大きさは、時間Tの間に速度がv増加するので、

......[答]

(イ)　トラックの荷台上で見て、荷物に働く力は、トラックの走行方向と逆向きの慣性力

，トラックの走行方向の静止摩擦力f，これらの力のつり合いより、

∴

......[答]

(ウ)　荷物がすべらない条件は、静止摩擦力fが最大静止摩擦力

以下となることで、

∴

......[答]

(エ)　荷台上で見て、荷物に働く力は動摩擦力

と慣性力

，荷物の運動方程式は、荷物の加速度をa，走行方向を正の向きとして、

∴

加速度は走行方向と逆向きなので、その大きさは、

......[答]

(オ)　時間Tの間に荷物が進む距離は、

......[答]　(等加速度運動を参照)

(カ)　時刻Tでの相対速度の大きさは、

......[答]

(キ)　荷物が停止するまでに動く距離を

として、時刻Tにもっていた運動エネルギー

が動摩擦力のする仕事

によって失われてゼロになるので、エネルギーの原理より、

∴

......[答]

(ク)　荷物の移動距離がLを越えないので、(オ)，(キ)の結果より、

をかけて整理すると、

∴

......[答]

(ケ)　荷物の中心からPを通り紙面に垂直な軸に下ろした垂線と、荷物の高さ方向のなす角をφとすると、荷物が回転を始めない条件は、慣性力と重力の合力が荷物の高さ方向となす角がφ以下であることです。右図より、

回転を始めない条件は、

......[答]

(コ)　荷物はすべるが回転を始めないための必要条件は、

で、(ウ)，(ケ)より、

∴

......[答]

問1　荷台上で見て荷物に働く力は、大きさ

で鉛直下向きの重力，大きさNで斜面に垂直上向きの垂直抗力、大きさ

で水平方向外向きの遠心力です。力の成分は右図の通り。

鉛直方向の力のつり合いより、

水平方向の力のつり合いより、

によりNを消去して、

∴

......[答]

(サ)　トラックが速さVが

なので、荷物は外向きにずれて行こうとします。問1の力に加えて、荷物には斜面に沿って下向きに静止摩擦力fが働きます。

斜面に沿う方向の力のつり合いより、

∴

斜面に垂直な方向の力のつり合いより、

∴

荷物がすべり始める限界において、静止摩擦力fは最大静止摩擦力

に等しくなるので、

∴

......[答]

(シ)　荷物の中心からQを通り紙面に垂直な軸に下ろした垂線と、荷物の高さ方向のなす角をϕとします。転倒する限界において、重力と遠心力の合力、即ち、垂直抗力と摩擦力の合力(重力と遠心力の合力とつり合い、同じ大きさで逆向きになる)が荷物の高さ方向となす角がϕに一致します。右図より、