京大物理'12年[3]

京大物理'12年[3]

次の文章を読んで、　　には適した式を、　　には適切な語句をそれぞれの解答欄に記入せよ。　　はすでに　　で与えられたものと同じ式を表す。また、問1～問3については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。1に近い量は、微小量ε，

，

，･･･，

に対して成り立つ近似式

および

を用いて、1＋(微小量)の形に表せ。以下では「重力」という言葉は「万有引力」と同じ意味である。また、地球の自転は無視する。

(1) 図1のように、宇宙空間で図の上方に向かって、一定の加速度aで引っ張られている箱を考える。箱に固定された点Aにある振動数

の光源から、上方に距離hだけ離れた点にある検出器に向けて光の信号を送る。ここでは、上下方向の運動のみを考え、ベクトルである量は上を正の向きとする。

光が光源を出たときの箱の速度を

，検出器に到達したときの箱の速度を

とすると、検出器が受け取る光の振動数

と

の比は、ドップラー効果の公式より、

となる。(

，

を用いて表せ。)ここで、

，

の大きさは光速(光の速さ)cに比べて十分小さいとし、

，

を微小量として上記の近似式を用いた。(ここでは、物体の速さは光速に比べて非常に小さいため、時間の遅れや物差しの縮みといった、いわゆる特殊相対論的な効果は無視してよい。)
光が光源を出てから検出器に到達するまでの時間をt とすると、

はaとt を用いて　い　と書ける。もし、箱の速度が常にゼロであれば、t はcとhを用いて　う　と書ける。箱が加速を受けている場合も、光が伝わる間、箱の速度が常に光速に比べて十分小さいとき、すなわち、

がみたされている場合は、

　う　としてよい。以上のことから、

となることがわかる。光の振動数を考える代わりに、光源から短い時間間隔

をおいて出た2つのパルスが、検出器に到達するときにはどれだけの時間間隔(

とする。)になっているかを考えることもできる。振動数f の光を、単位時間にf 個のパルスが出るという状況に置き換えてみると明らかなように、

(　え　)と書けることがわかる。(h，a，cを用いて表せ。)

(2) ところで、図1のような等加速度運動をしている箱の中にいる観測者から見ると、物体には通常の力の他に観測者の加速度運動からくる　お　力が働き、見かけの重力加速度　か　が生じる。(図の上向きを正として答えよ。)このようにして生じる見かけの重力と本物の重力が何ら変わりないというのが、アインシュタインの等価原理である。

たとえば、地球の中心からの距離がrである点における地球による重力加速度は、地球の外では、向きは　き　であり、大きさは　く　である。(r，地球の質量Mおよび重力定数Gを用いて表せ。)これは、場所によって向きも大きさも異なるが、任意の点のまわりで十分小さい領域を考えると、その中では重力加速度は一定とみなしてよい。その領域内での物理現象は、上のような等加速度運動をしている観測者が見るものと全く同じである。

そうすると、図2の点線内のように、重力加速度が下向きで大きさβ が一定と見なせる領域内で、高さがhだけ異なる2つの地点AとBの間で光をやり取りするとき、Aにおける時間間隔

とBにおける時間間隔

の間には

(　け　)の関係があることがわかる。(β，h，cを用いて表せ。)

問1　ここまではAからBへ光を送ることを考えたが、逆にBからAへ光を送る場合も

は上の近似の範囲で同じ値となる。その理由を簡潔に述べよ。

この結果は、重力がある場合は、場所によって時間の進み具合が違っていることを示している。すなわち、Aにおいて時間が

経過する間に、Bでは

だけ時間が経過するのである。これを、「Aにおける時間

とBにおける時間

が対応している」ということにしよう。今の場合は、

なので、時間の流れはBにおけるほうが、Aにおけるより速い。

(3) 上の結果を、2つの地点における重力ポテンシャルを使って表そう。質量mの粒子が他の物体から重力を受けているとき、その位置エネルギーはmに比例するので

と表せる。ϕを粒子が置かれている点における重力ポテンシャルと呼ぶ。

図2の場合には、A，Bにおける重力ポテンシャルをそれぞれ、

，

とすると、β，hを用いて、

　こ　と書ける。結局、

は

，

，cを用いて、

(　さ　)と表される。実はこの式は、

が1に比べて十分小さければ、重力加速度が空間的に一定でなくてもなりたつ。

それを見るための具体例として、図3のように地表上の点Aと、そのLだけ上空の点Bを考える。地球の半径をRとし、線分ABをN等分する点を

，･･･，

とする。(便宜上、

，

とする。)各点

における重力ポテンシャルを

とする。Nが十分大きければ、各区間

では重力加速度は一定としてよいから、

における時間

と

における時間

が対応しているとすると、

をみたす。

問2　これらのN個の式の辺々をかけ合わせ、

(　さ　)が成り立つことを示せ。

次に、　さ　を地表における重力加速度の大きさgとR，L，cで表すことを考える。地球の外側にあり地球の中心から距離rだけ離れた点に、質量mの粒子を置いたときの重力の位置エネルギーは、無限遠を基準に取ると、m，r，M，Gを用いて　し　で与えられる。よって、その点における重力ポテンシャルは、

である。一方、地表における重力加速度の大きさgは

と書けるから、

，

はg，R，Lを用いて、

　す　，

と表せる。これらを　さ　に代入すると、結局、

(　せ　)であることがわかる。(g，R，L，cを用いて表せ。)

(4) この結果は、人工衛星の中の時計と地表の時計の進み方の違いを与えるために重要であり、GPS(全地球測位システム)等で実際に使われている。図4のように、地球の重力により、高度Lの円軌道上を一定の速さvで動いている人工衛星Cを考える。図3と同様に、A，Bは地表の点およびそのLだけ上空の点である。今の場合、CはBに対してかなりの速さで動いているため、時計の遅れといわれる特殊相対論的な効果も考慮する必要がある。

特殊相対論によると、Bにおける時間