多重スリット 関連問題
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ここでは、2重スリットからスリットの数を増やしていくときの回折光の干渉を考えます。
2重スリットでは、2つのスリット
，
からスクリーン上の点Pに到達する光の経路差は、スリット間隔をd，スリット位置からスクリーンまでの距離をl，スクリーン上に両スリットから等距離の点を原点Oとしてx軸をとり、点Pの座標をx，両スリットを通過した光とスクリーンに立てた法線とのなす角をともにθ (lは充分に大きく、θ は微小な角とします)として、
として、
なので、2つのスリット
，
からPに到達する光波の変位を、
，
･･･①
このうち、右辺のsinは位相にt を含むので単振動を表し、単振動の振幅に寄与するのは、t を含まない
です。
点Pにおける明るさは、光のエネルギー密度に比例し、光波の振幅の2乗に比例するので、
に比例すると考えられます。光の明るさとxとの関係を右図のグラフに示しました。
つまり、2重スリットでは、明線、暗線と言っても、ぼやーっと明るく、また、ぼやーっと暗く、どこが明線位置で、どこが暗線位置なのかはっきりしないのです。ヤングの干渉実験により、明線間隔から光の波長を求めることができましたが、有効数字1桁程度のおおよその値を求めることはできますが、精密な波長の測定を行うことはできません。
そこで、スリットの数を1つ増やして、3つにすることを考えます。3つ目のスリットから点Pにやってくる光波の変位
を、光の進む距離
が
の
よりさらに
だけ長くなるとして①と同様に、
とすると、P点での変位は、3光波を重ね合わせて、
･･･③
，
･･･④ とします。
を用いて、P点での変位の式③を変形すると、
④より、この式の
の部分は時間t を含むので、単振動を表します。単振動の振幅に寄与するのは、t を含まない
です。
前述のように、点Pにおける明るさは、振幅の2乗に比例するので、④より、
に比例すると考えられます。光の明るさとxとの関係を、右図のグラフに示しました(縦軸方向を縮めています)。原点はスリットの数にかかわらず、明線になることに注意してください。
2重スリットのときの明線位置は、3重スリットのときも明線位置になりますが、2重スリットのときの明線の中間にやや明るい部分ができているのがわかります。mを整数として、
の位置の極大を主極大、その間にできているやや明るい極大を副極大と言います。
さらにスリットの数を増やしてn個にしてみます。k番目(
)のスリットから点Pにやってくる光波の変位を、①，③と同様に、
とすると、P点での変位は、n個の光波を重ね合わせて、3重スリットのときの④と同様に、
･･･⑤
を使って、⑤は、隣接2項で打ち消し合って、
この式の
の部分は時間t を含むので、単振動を表します。単振動の振幅に寄与するのは、
です。
点Pにおける明るさは、振幅の2乗に比例するので、
の場合を、右図のグラフに示しました(縦軸方向を縮めています)。原点は明線です。
2重スリットのときと同様に、mを整数として、
の位置に主極大ができて、主極大の間に小さな副極大が6個できていることがわかります。nを大きくすることによって、主極大と副極大の差が大きく、主極大は次第に鋭くなってくることがわかります。
程度にすると、主極大は極めてシャープになり、明線間隔を高精度に測定することが可能になり、波長の測定を精密に行うことが可能になります。これが、スリット数を増やした回折格子を使う理由です。
なお、実際には、スリットの幅による単スリット効果の影響も大きく、原点Oの主極大から、スクリーン両側に向かって、主極大は次第に暗くなっていきます。
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