ストークスの定理
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ストークスの定理：
空間中に閉曲線Cがあり(簡単のために凸な曲線だとします)、Cで囲まれた曲面Uがあり、曲面U上の点P
が、
を満たしているとします。x，y，zの関数であるベクトル
について、閉曲線Cに沿って
を線積分することを考えます。
･･･①
について、
を代入して、
をx，yの関数と考えて、
とおきます。
zはx，yの関数なので、連鎖定理を用いると、
･･･②
曲面U上の点Pにおける大きさ1の法線ベクトル
がx軸，y軸，z軸となす角をθ，φ，ϕとして、
ですが、点Pにおける曲面Uの接平面を、点Pを通りxy平面に垂直かつx軸に平行な平面で切ると、切り口の直線の方向ベクトルは
，接平面を、点Pを通りxy平面に垂直かつy軸に平行な平面で切ると、切り口の直線の方向ベクトルは
，
は、この2つのベクトルが作る平面に垂直なベクトルなので、両者の外積を求めると、
このベクトルは
に平行なので、
として、
と書けます。
よって、
，
より、②を、
･･･③
閉曲線Cのxy平面への射影としてできる曲線を
，
で囲まれる領域をDとします。
閉曲線C上の点も曲面U上の点だから
を満たしていて、
であり、
をxy平面上の
におけるx，yの関数と考えて、
ここで、
が
に位置し、
で囲まれる領域Dをあるx座標のところで切ったときに、
だとします。
を
，
で上下に分けて、上側をH，下側をLとして、
を領域Dで面積分すると、
よって、③より、
(面積分を参照)より、領域Dにおける積分を、曲面Uの積分として、
･･･④
④と同様にして、
･･･⑤
･･･⑥
大きさが
，向きが
であるベクトル(面積素片)を
として、
(rotについては回転を参照)
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