東工大物理'02年前期[1]
図に示す平行板コンデンサーの極板は、一辺の長さがaの正方形である。図の中に斜線を引いて示してある導体板は、一辺の長さがaの正方形で厚さは
である。図の中の電池の起電力は
である。
コンデンサーの下側の極板の位置は固定されている。下側の極板の左側を図のようにx，y座標の原点Oとする。x軸とy軸に垂直な方向にz軸をとり、点Oをz軸の原点とすると、両極版と導体板はいずれも
から
までの範囲にある。導体板は
から
の間にある。
外力を加えながらコンデンサーの上側の極板を
の状態①から
の状態②まで十分ゆっくり移動させる。続いて、上側の極板の位置も固定して、導体板をx方向に十分ゆっくり移動させて状態③にする。このとき導体板の右端は
から
まで移動する。
コンデンサーの極板間の距離がbで極板間に導体板が入っていないときの電気容量をCとする。aはbに比べて十分に大きいものとする。以下の問いに、変数としては導体板の右端の位置x，上側の極板の位置y，定数としてはa，b，C，
のみを用いて答えよ。
[A] スイッチSを閉じてコンデンサーを充電させた後、このスイッチを閉じたまま状態①から②，そして更に状態②から③へ変化させる。
(a) ①から②への途中でのコンデンサーの電気容量
を求めよ。 (b) ②から③への途中でのコンデンサーの電気容量
を求めよ。 (c) ①から②への途中においてコンデンサーにたくわえられている静電エネルギー
，②から③への途中においてコンデンサーにたくわえられている静電エネルギー
をそれぞれ求め解答欄に書け。そして、それらを解答欄の例にならって横軸の始点と終点とその中間点の座標およびそれらに対応する縦軸の座標を明示してグラフで示せ。方向を示すためにグラフに矢印もつけよ。 (d) 極板や導体板を十分ゆっくりと移動させるために加える外力の方向と極板や導体板の移動の方向が同じ場合は外力が正の仕事をなしたと呼ぶ。方向が反対な場合は外力が負の仕事をなしたと呼ぶ。①から②への変化、および②から③への変化のそれぞれについて、次のア，イ，ウ，エの中から当てはまるものを1つ選べ：
ア：外力がなした仕事は正で、コンデンサーの静電エネルギーは増加した。
イ：外力がなした仕事は正で、コンデンサーの静電エネルギーは減少した。
ウ：外力がなした仕事は負で、コンデンサーの静電エネルギーは増加した。
エ：外力がなした仕事は負で、コンデンサーの静電エネルギーは減少した。
(e) ①から②へ変化した際に電池がなした仕事
，および②から③へ変化した際に電池がなした仕事
を求めよ。
[B] 上の[A]の状態①のようにコンデンサーを充電させた後、スイッチSを開き、状態①から②へ、そして更に②から③へ変化させる。
(f) ①と②の途中でのコンデンサーの静電エネルギー
，および②と③の途中でのコンデンサーの静電エネルギー
を求めよ。 (g) ①から②へ変化したときに外力がなした仕事
，および②から③へ変化したときに外力がなした仕事
を求めよ。
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解答 コンデンサーの極板を移動させたり、導体板を挿入するとき、電池をつないだままのときと、電池の接続を切ってしまうときとでどう違うのか、という問題です。
[A](a) 極板間の空気の誘電率を
とすると、状態①においてコンデンサーの静電容量は、 ①から②の途中での極板間距離はyなので、
......[答]
(b) 導体板が挿入されている部分の面積は
，コンデンサーの上側極板と導体板との間の極板間距離は
なので，この部分の静電容量は、 コンデンサーの下側極板と導体板との間の静電容量も
両者は直列に接続されているので、合成容量を
として、 ∴ 
導体板が挿入されていない部分の面積は
，極板間距離は
で、この部分の静電容量は、 
と
は並列に接続されているから、
......[答](c) 電池が接続されたままなので、コンデンサーの極板間電圧は一定値
で、①から②の途中では、静電エネルギー：
......[答] (静電エネルギーについては、コンデンサーの過渡現象を参照) 始点では
として
，終点では
として
，中間点では
として
②から③の途中では、静電エネルギー：
......[答]始点では
として
，終点では
として
，中間点では
として
グラフは右図。
(d) ①から②の途中も、②から③の途中も、ともに、電圧一定のもとでコンデンサーの静電容量が増大するので、コンデンサーが蓄える電気量が増大し、電池がコンデンサーに正の仕事をします。この仕事が、静電エネルギーの増大分と極板を近づける仕事に使われ、外力は仕事を受けることになるので、外力の仕事は負です。従って、①から②が、ウ ......[答]，②から③も、ウ ......[答]
(e) ①においてコンデンサーが蓄えている電気量は、
②において、コンデンサーの静電容量は(a)の結果で
として、
このときコンデンサーが蓄えている電気量は、
①から②までの電気量の増加は、
①から②へ変化した際に電池がなした仕事：
......[答] (電池のした仕事については、電位・電圧を参照)③において、コンデンサーの静電容量は(b)の結果で
として、
このときコンデンサーが蓄えている電気量は、
②から③までの電気量の増加は、
②から③へ変化した際に電池がなした仕事：
......[答]
[B](f) ①において、コンデンサーは、
の電荷を蓄えています。ここで、スイッチSを開くと、この電荷が極板に取り残されます。この後、コンデンサーの静電容量が変化すると、極板間の電圧が変化することになります。 ①から②の途中では、静電エネルギー：
......[答]②から③の途中では、静電エネルギー：
......[答]
(g) ①における静電エネルギーは
②における静電エネルギーは、
のとき、
③における静電エネルギーは、
のとき、
①から②までで、静電エネルギーの変化は、
(減少した)静電エネルギーは、コンデンサーが極板を移動させる仕事の分だけ減少します。外力は、
だけ仕事を受けるので、外力のした仕事は、
......[答]②から③までで、静電エネルギーの変化は、
(減少した)これも、①→②と同様に、外力のした仕事は、
......[答]
[A]では、電池を接続したままなので、電池が仕事をして、コンデンサーに静電エネルギーを供給し(静電エネルギーは増加します)、極板を引き寄せたり、導体板を引き込む仕事をします。
[B]では、電池は接続されていないので、コンデンサーが仕事をして極板を引き寄せたり、導体板を引き込む仕事をします。従って、コンデンサーの静電エネルギーは減少します。
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