東工大物理'08年前期[4]
図のように、水平面上に質量mの物体Aを置き、ばね定数kのばねをつなぐ。ばねが自然長となる物体Aの位置を原点Oとし、水平方向にx軸をとり、右向きを正の向きとする。原点Oから点P (位置
)までの区間は摩擦のある領域であり、それ以外の領域は摩擦がないものとする。点Pの右側に質量mの物体Bを置く。物体Aおよび物体BのOP間における静止摩擦係数をμ，動摩擦係数を
とする。重力加速度をgとして以下の問いに答えよ。ただし、物体AとBの大きさは無視できるものとする。
[A] はじめに物体Aを原点Oに静止させておく。物体Bに原点Oに向かう速度を与え、摩擦のある領域を通過させたところ、物体BはAに衝突し、その後1つの物体ABとなって運動した。はじめに物体Bに与えた運動エネルギーをEとする。
(a) 衝突直前の物体Bの運動エネルギー
をE，
，m，g，lを用いて表せ。 (b) 衝突直後の物体ABの運動エネルギーを、E，
，m，g，lを用いて表せ。ただし物体BとAの衝突は瞬間的に起こり、その際、摩擦力の影響は無視できるものとする。
設問[A]において、物体Bにはじめに与える運動エネルギーEを変化させて、物体AとBの運動を調べる。ただし以下の問では、μ，
，l，k，m，gは
および
を満たすものとする。
[B] ある運動エネルギーEをはじめに物体Bに与えたところ、物体AとBは、衝突して一体となった後、再び原点Oに戻り、OP間のある位置xで速度が0になった。
(c) 速度が0になる位置xを、E，k，lを用いて表せ。
(d) 速度が0になった後、一体となった物体ABはどのような運動をするか、理由をつけて答えよ。
[C] 設問[B]で与えた運動エネルギーより大きい運動エネルギーEをはじめに物体Bに与えたところ、一体となった物体ABはPの右側に飛び出し、Pから再び摩擦のある領域に入った後、OP間のある位置xで速度0になった。
(e) 位置xを、E，k，lで表せ。
[D] 問い(e)の答xを0とするような、物体Bに与える運動エネルギーEを
とする。 (f) 物体A(一体となった後は物体AB)が最終的に静止する位置xを、Eの関数とみなし、
における関数のグラフの概略を描け。
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解答 東工大の面目躍如の問題です。簡単な設定なのに、どうやって、こういう面白い問題を思いつくのか、東工大の先生には敬服してしまいます。
[A](a) OP間で物体Bに働く摩擦力
が物体Bにする仕事は、
(b) 衝突直前のBの速度をv，衝突直後のABの速度を
として、運動量保存より、 衝突直前のBのエネルギーについて、
衝突直後のABのエネルギーについて、 
......[答]
[B] 一体となったABがばねを押し縮めて左端まで行ったのち、ばねの弾性力によって、右に動く向きを変え、原点Oに戻るまでの間、ABの力学的エネルギーを奪うような仕事は存在せず、原点Oに戻ってきたときの力学的エネルギーは、
より、 
･･･①のままです(こうなるためには、
より、
でなければなりません)。
これ以後は、摩擦力
が負の仕事
を物体ABにします。 (c) ABの速度が0になったということは、ABの運動エネルギーが0になったということです。このときに、ばねはx伸びているので、ABには、弾性力による位置エネルギー
があり、ABの力学的エネルギーは
です。ABの力学的エネルギーはもともと持っていた
と摩擦力のした仕事
の和なので、
，つまり、 ①を用いて、
ここで、
より、複号はプラスの方をとります。 ∴ 
......[答] ここでは、
，つまり、
より、 ∴ 
･･･② となります。
(d) ばねの弾性力
が最大静止摩擦力
を上回れば滑り出しますが、
なので、
より、ABは静止したままになります(摩擦力を参照)。 ABは静止を続ける。理由：弾性力
が最大静止摩擦力
よりも小さいから。 ......[答]
[C] ABがPの右側に飛び出した、ということは、②より、
だったということです。 ABがOからPに移動する間に、摩擦力がABにする仕事は、
です。ABがPの右側に飛び出した瞬間、ABは、
という力学的エネルギーを持っています。右端まで行った後にPまで戻ってきたときにも、この力学的エネルギーを持っています。 (e) OP間の位置xで速度が0となり、運動エネルギーが0になったときに、ABの力学的エネルギーは、ばねの弾性力の位置エネルギー
のみとなります。Pから位置xまでに摩擦力が、
だけの仕事をABにしているので、ABの力学的エネルギーは、 となります。整理して、
①を用いて、
より、根号部分は
よりも大きく、
より、複号はマイナスの方をとります。∴ 
......[答] ･･･③ 
より、
となってしまうのですが、これは、Pの右側に飛び出して、ばねが思い切り伸びてしまうと、ばねの弾性力によって引き戻され、Pに戻ってきたときに勢いがつき過ぎていて(運動エネルギーが大き過ぎて)、
の範囲では止まりきれない、ということを意味しています。
[D] ③で
とすると、
となります。 
(f) (i) 
の場合、物体BはOPの途中で止まってしまうので、Aは
に静止したままになります。(ii) 
の場合、(c)の結果より、ABは、
で静止します。 (iii) 
の場合、(e)の結果より、ABは、
で静止します。
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