東工大物理'10年前期[2]
真空中に半径Rの絶縁体球があり、この球内に単位体積あたり
(
)の負電荷が一様に分布している。図1に示すように、この球の中心を含む平面に沿って狭い隙間を開ける。平面上の隙間を含む平面をxy平面とし、球の中心を座標の原点Oとする。隙間の幅は無視できるとする。この隙間内で原点Oより距離r (
)の点における、絶縁体球全体の電荷による電場は、原点Oを中心とする半径rの球内に存在する全電荷が原点Oに集中していると考えたときに、この電荷が作る電場と等しいことが知られている。
この隙間内で、正電荷qをもち、質量mで大きさの無視できる荷電粒子が摩擦なく運動する。以下の問いに答えよ。ただし、重力の影響を無視し、この荷電粒子は絶縁体球と絶縁されており、この荷電粒子の運動に伴う絶縁体球内の電荷の分布の変化はないとする。
[A](a) 原点Oから距離r (
)にこの荷電粒子があるとき、この荷電粒子の受ける力は原点Oに向かう向きであり、大きさは
と書ける。Cを求めよ。ただし、真空中のクーロンの法則の比例定数を
とする。 以下の問いでは、答にCが含まれるときには、問(a)で得られたCの値は代入せずにCを用いよ。
(b) 
がrに比例する形であることに着目して、原点Oから距離r (
)にこの荷電粒子があるときの静電気力による位置エネルギー
を答えよ。ただし、原点Oを位置エネルギーの基準点にとることとする。 (c) 原点Oにあるこの荷電粒子にx軸の正の向きに速さ
を与える。この荷電粒子が絶縁体球の表面(
)まで到達するための
の最小値を求めよ。
[B] つぎに、z軸の正の向きに磁束密度の大きさがBの一様磁場を加える。
(d) 問(c)と同様に、原点Oにあるこの荷電粒子にx軸の正の向きに速さ
を与えたところ、図2に示す曲線に沿ってこの荷電粒子は運動し、絶縁体球の表面に到達した。球の表面に到達したこの荷電粒子の速さvを求めよ。
(e) 原点Oから距離r (
)にあるこの荷電粒子に適当な速度を与えると、この荷電粒子が隙間内で原点Oを中心とする半径rの等速円運動を行う。図3に示すように、円運動がxy平面で(i)時計回りのとき、(ii)反時計回りのとき、それぞれについて円運動の角速度の大きさを求めよ。(f) 以下の空欄に入る適切な数式を答えよ。
問(e)では、この荷電粒子の円運動が(i)時計回りのときと(ii)反時計回りのときとで角速度の大きさが異なっている。もし、この荷電粒子の運動を、原点Oを中心として、角速度
でxy面内を時計回りに回転運動している観測者Kから見ると、(i)時計回りのときと(ii)反時計回りのときとでこの荷電粒子の円運動の角速度の大きさは等しく、ともに
と観測される。
これは物理的には次のように解釈できる。観測者Kから見たときの電場や磁場の観測値は、静止している観測者Sから見たときとは異なる。観測者Kから観測すると、この隙間内の磁場はなく、電場は原点Oに向かう向きとなっている。このために、観測者Kから見たときのこの荷電粒子の円運動の角速度の大きさが、(i)時計回りのときと(ii)反時計回りのときとで等しくなっている。また、観測者Kから見たときの電場からこの荷電粒子が受ける力の大きさは
(
は定数)と書ける。ここで、
であり、この値はCとは異なっていて、確かに電場の観測値は、観測者Kと観測者Sで異なっていることが分かる。
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解答 運動する観測者Kから見た電磁場が静止している観測者Sから見た電磁場と異なっていることをテーマにした問題です。誘導に従って進めば、解答できるでしょう。
[A](a) 半径rの球の体積は
，原点Oを中心とするこの球内に存在する電荷の総量は
，原点Oから距離r (
)の位置に電荷qの荷電粒子があるとき、この荷電粒子が受ける静電気力の大きさFは、
(力の向きは中心向き)∴ 
......[答] 
(b) 静電気力による位置エネルギーは、静電気力に逆らう外力が原点から距離rの位置まで電荷qを持ってくるのに必要な仕事に相当します。静電気力の向きは中心方向なので、外力の向きは中心から外に向かう方向、つまりrを大きくする方向です。よって、外力は正電荷に対して正の仕事をするので、求める位置エネルギーは右図黄緑色着色部の三角形の面積となり、
......[答]積分で求めると、
(c) 絶縁体球の表面に達したときの荷電粒子の速さをvとして、原点Oにあるときと絶縁体球表面に到達したときとのエネルギー保存より、 絶縁体球の表面まで到達する条件は、
において正電荷が運動エネルギーを持っていること、つまり、
です。
，
より、
[B](d) 磁場が運動する荷電粒子に及ぼすローレンツ力は、荷電粒子の速度に垂直で荷電粒子に仕事をしません。(c)と同様に、エネルギー保存より、 ∴ 
......[答] (e) 荷電粒子の移動方向を電流の向きと考えると、フレミング左手の法則より、磁場が荷電粒子に及ぼすローレンツ力の向きは、(i) 時計回りのときには中心に向かう方向、(ii) 反時計回りのときには中心から外に向かう方向で、その大きさは、原点から距離rの位置にいる荷電粒子の速さをv，角速度の大きさをωとして
です(ローレンツ力を参照)。また、等速円運動する荷電粒子の加速度の大きさは
です。 (i) 時計回りのとき、向心力はローレンツ力
と静電気力
で、運動方程式： 
より、
(
とします) ......[答](ii) 反時計回りのとき、ローレンツ力が(i)とは逆向きになり、運動方程式：
より、
(
とします) ......[答](f)① 観測者Kから見た(i)，(ii)の相対角速度が同じ大きさになるので、観測者Kの角速度Ω は(i)，(ii)の角速度の平均になります。(i)と(ii)では逆方向に回ることに注意します。角速度の大きさについて
ですが、時計回りに回るときに角速度を正とすると、(i)の場合の角速度は
，(ii)の場合の角速度は
になるので、(e)の結果を用いて、 
......[答]② 
......[答]③ 観測者Kから見て、(i)，(ii)どちらの場合も、同じ角速度で、つまり、同じ大きさの向心力を受けて等速円運動をしています。この向心力を電場から受ける力と見て、荷電粒子が電場から受ける力の大きさを
と書くと、観測者Kから見たときの運動方程式は、②の結果を用いて、 ∴ 
......[答]
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