東工大物理'13年前期[1]
[A] 図1のように水平でなめらかな平面があり、その上の直線上を同じ質量mの2つの物体AとBが、伸び縮みしない質量の無視できる長さ
のひもで結ばれたまま、摩擦を受けずに運動している。以下では、図の右方向を速度の正の向きにとる。時刻
において、図1のように物体Aは物体Bの右方向に距離
だけ離れた位置にあり、ひもはたるんだまま、物体AとBはそれぞれ速度
，
(
)で運動している。物体間の距離が
になるとひもがたるみなく張り、物体AとBには撃力が働く。その直後、物体AとBは近づき始め、やがて衝突する。ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもがたるんでいるときには、ひもは物体AとBの運動を妨げることはないとする。また、物体AとBの衝突は完全弾性衝突であるとする。空気抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。 (a) 初めてひもが張った直後の物体A，Bの速度をそれぞれ
，
とする。ひもが張る前後のエネルギー保存の式、および運動量保存の式を記せ。また、
，
を求めよ。 (b) 
から初めてひもが張るまでの時間
を求めよ。また、
から2回目にひもが張るまでの物体Bの速度を、時間の関数として解答欄(b)に実線で書き込め。ただし、初めてひもが張る時刻
と速度
，
を表す位置は解答欄に示されている。
[B] 図2のように水平面となす角がθ (
)の斜面があり、その上の直線上を同じ質量mの2つの物体AとBが伸び縮みしない質量の無視できる長さ
のひもで結ばれたまま運動している。ただし、2つの物体は紙面内を運動し、斜面から離れることはない。物体Aの下面はなめらかで斜面との間に摩擦はないが、物体Bの下面は粗く、物体Bと斜面との間の動摩擦係数は
である。物体Bに働く動摩擦力は重力の斜面下向き成分に比べて小さく、物体は斜面上で静止することはない。以下では、斜面下方を速度の正の向きにとる。時刻
において物体Aは物体Bより距離
だけ下方にあり、物体AとBの速度は等しく、
(
)であった。重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるものとして、以下の間に答えよ。 (c) 
から初めてひもが張るまでの時間
を求めよ。 (d) 初めてひもが張った直後の、物体Bから見た物体Aの相対速度
を求めよ。ただし、ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもが張る瞬間において、物体に働く重力と摩擦力の影響は無視する。 (e) 問(d)でひもが張った時刻から、物体A，Bが近づき、初めて距離が
になるまでの時間を求めよ。また、距離が
になったときの物体Bから見た物体Aの相対速度
を求めよ。
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解答 [B]の後半では、斜面を下るに従って、だんだんAもBも速くなるのですが、運動の対称性を生かせばうまく解答することもできます。
[A](a) ひもが張る直前、運動エネルギーは
，
，A，Bの運動量は
，
です。ひもが張った直後、運動エネルギーは
，
，A，Bの運動量は
，
，です。 
......[答] ･･･①
......[答] ･･･②①より、
，
･･･③
②より、
，
･･･④
③，④より、
･･･⑤
④＋⑤より、
......[答]，④－⑤より、
......[答]注．同じ質量の物体Aが、ひもが張る前後で、エネルギー保存と運動量保存が成立すると、本問のように、速度を交換することに注意してください。
(b) 初めてひもが張るまで、Bから見たAの相対速度は
です。Bから見るとAは、この速度で時間
の間に
進むように見えるので、
∴ 
......[答]初めてひもが張ると、BがAを追いかけるようになり、初めてひもが張ってから2度目にひもが張るまでの時間を
とすると、この間にBはAに対して、相対速度
で距離
進むことになるので、(a)の結果を用いて、 ∴ 
初めてひもが張るまでの
において、Bの速度は
，ここから2度目にひもがはるまでの
において、Bの速度は
です。グラフは右図。
[B](c) 斜面を下る方向のAの運動方程式は、Aの加速度を
として、Aは重力のこの方向の成分
を受けるので、 
∴ 
斜面を下る方向のBの運動方程式は、Bの加速度を
として、Bは重力のこの方向の成分
と上向きの動摩擦力
を受けるので、 
∴ 
Bから見たAの相対加速度は、
BからAを見ると、はじめ
の距離にいたAが、初速度0，加速度
で動き始め、ひもが張るときには
の距離にいるように見えます。等加速度運動の公式より、 
∴ 
......[答]
(d) ひもが張る直前のA，Bの速度
，
は、等加速度運動の公式より、 
，
Bから見たAの相対速度は、
･･･⑤[A](a)と同様に、ひもが張ったときにAとBは速度を交換するので、初めてひもが張った直後の物体Bから見た物体Aの相対速度は、⑤と符号が反転し、
......[答]
(e) Bから見たAの加速度はひもが張った後も、
です。Bから見てAとの相対距離が
縮まるまでの時間を
として、等加速度運動の公式より、 
......[答]この後、時間
経過すると、相対距離は、
だけ増して、
となり、再びひもが張ります。ここで再びA，Bの速度が交換して運動が続きます。
注．(d)でも述べたように、ひもが張るときにAとBは速度を交換し、同じ加速度で逆向きの運動を始めます。重力を受けて鉛直上方投射された物体が、上昇から下降に移るのと同様に、本問でも同じ相対距離
動く時間は変わらず、
になるのは当然です。また、相対距離が
になったときの相対速度が
のときと同じ値
となるのも当然です。
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から3回目にひもが張るまでの物体A，Bの速度を、時間の関数として解答欄(f)に書き込め。物体Aの速度のグラフを実線、物体Bの速度のグラフを破線で書くこと。ただし、
から
までのグラフは解答欄(f)に書き込まれている。
......[答] (
)
は、
(f) (e)までで見てきたように、一旦ひもが張って次に張るまでの時間は、ずっと
のままになります。ひもが張るごとにAとBで速度を交換し各々のグラフが途切れます。初速度
で動き始めた後、Aは加速度
で、Bは加速度
で等加速度運動を続けるので、ひもが張るときを除いてそれぞれのグラフの傾きは一定で、物体Aと物体Bの速度のグラフは右図のようになります。