東大物理'08年前期[1]
質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。A，B，Cの3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Ａの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離
の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。A，B，C全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。
Ⅰ Cが用いたばねのばね定数kをm，Tを用いて表せ。
Ⅱ Ａ，B，Cそれぞれの場合について、箱の速さ
を時刻t (
)の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さ
をT，Lを用いて表せ。
Ⅲ A，B，Cそれぞれの場合について、時刻Tまでに箱にした仕事をm，T，Lを用いて表し、どの場合最も仕事が少なかったか答えよ。またそれぞれの場合について、箱にした仕事とⅡで求めた速さ
との関係を求めよ。
Ⅳ 箱を静止した状態から動かし始め、最小の仕事でちょうど時刻Tに距離Lだけ離れたところを通過させるための力の加え方を求めたい。ただし、箱に加えることのできる最大の力を
とし、
はA，B，Cの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力
の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。
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解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。Ⅱでは、変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では？
Ⅰ ばねをL縮めたときのばねの位置エネルギーは
，箱がゴール地点にあるときの箱の速さをvとして、箱の運動エネルギーは
系のエネルギーを奪うような外力は存在せず、力学的エネルギーが保存されるので、
∴ 
･･･①ばねが行う単振動の振幅はL (自然長の位置は単振動の振動中心です)で、ばねの角振動数をωとして、単振動の公式より、 ①と比べて、
単振動の周期は
で、単振動の公式より、 
∴ 
......[答]
Ⅱ Aについて、
∴ 
時刻tにおける速さ
は、 グラフは右図。
おける速さ
は、 
......[答]Bについて、
∴ 
における速さ
は、
においては、この速さで等速度運動で距離
進むので、
∴ 
における速さは、
における速さは、
グラフは右図。
における速さ
は、
......[答]Cについて
に振動端
にいて、
に振動中心
にくるので、箱の位置xは、
グラフは右図。
における速さ
は、
......[答]
Ⅲ A，B，Cの3人が加える力以外に、エネルギーを奪う外力が存在しないので、時刻Tまでに箱にした仕事は全て、
の運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、 
......[答]Aについて、
Bについて、
Cについて、
より、最も仕事が少なかったのは、B ......[答]
Ⅳ Ⅲより、最初に最大の力
で一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、力の加え方です。 最大の力
をかけているとき、加速度を
として、 
の間、最大の力をかけるとして、
における位置
，速さ
は、
，
において、速さ
で等速度運動して進む距離は、
∴ 
整理して、
∴ 
なので、複号はマイナスの方を取り、
従って、仕事が最小の場合の力の加え方は、
において、
において、
グラフは右図。時刻tまでにした仕事Wは、
......[答]
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に中間地点に至るとして、
における加速度aは、
