ゴムひもを伸ばすと、元の長さに戻ろうとする復元力がはたらく。一方でゴム膜を伸ばして広げると、その面積を小さくしようとする力がはたらく。この力を膜張力と呼ぶ。十分に小さい面積だけゴム膜を広げるのに必要な仕事は

の次元を持ち、膜張力の大きさを特徴づける正の係数である。ゴム膜でできた風船を膨らませると、膜張力により風船の内圧は外気圧よりも高くなる。外気圧はで常に一定とする。重力を無視し、風船は常に球形を保ち破裂しないものとして、以下の設問に答えよ。

�T　図3-1のように半径rの風船とシリンダーが接続されている。シリンダーには滑らかに動くピストンがついており、はじめピストンはストッパーの位置で静止している。風船とシリンダー内は液体で満たされており、液体の圧力pは一様で、液体の体積は一定とする。ゴム膜の厚みを無視し、係数σは一定とする。

(1) ピストンをゆっくり動かし風船を膨らませたところ、図3-1のように半径が長さだけ大きくなった。ピストンを動かすのに要した仕事を，p，r，を用いて表せ。ただし、は十分小さく、の二次以上の項は無視してよい。

(2) 設問�T(1)で風船を膨らませたときに、風船の表面積を大きくするのに要した仕事をr，，σを用いて表せ。ただし、は十分小さく、の二次以上の項は無視してよい。

(3) pを，r，σを用いて表せ。ただし、ピストンを介してなされる仕事は、全ての風船の表面積を大きくするのに要する仕事に変換されるものとする。

�U　図3-2のように、小さな弁がついた細い管の両端に係数σの風船がついており、中には同じ温度の理想気体がが封入され、気体の温度は常に一定に保たれている。最初、弁は閉じており、風船の半径はそれぞれ，である。管内と弁の体積、ゴム膜の厚みを無視し、係数σは一定とする。また、風船がしぼみきった場合、風船の半径は無視できるほど小さくなるものとする。

(1) の場合に弁を開いて起こる変化について、空欄とに入る最も適切な語句を選択肢�@〜�Cから選べ。また、下線部についての理由を簡潔に答えよ。

弁を開くと気体は管を通り、半径の風船からもう一方の風船に移る。十分時間が経った後の風船は、片方が半径で、。

�@　大きい　　�A　小さい
�B　他方も半径になる　　�C　他方はしぼみきっている

(2) σを，，および、設問�U(1)で与えられたを用いて表せ。

　()

に従うと仮定する。ここでaとは正の定数であり、温度によって変化しないものとする。風船の半径は常により大きいものとする。

(1) 図3-3のように、理想気体が封入され、風船の半径がどちらもの場合を考える。弁を開いて片方の風船を手でわずかにしぼませた後、手を放したところ、風船の大きさは変化し、半径が異なる二つの風船となった。が満たすべき条件を求めよ。ただし、気体の温度は一定に保たれているとする。

(3) 設問�V(2)で十分時間が経った後、今度は風船内の気体の温度をゆっくりと下げた。二つの風船の半径を温度の関数として図示するとき、最も適切なものを図3-4の�@〜�Eから一つ選べ。

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�T(1) ピストンの面積を，ピストンを押す左向きの力をFとして、ピストンには他に、外気圧による左向きの力，液体の圧力による右向きの力が働きます。ピストンをゆっくり押すので、ピストンに働く力のつり合いより、

　∴

ピストンが動くとき、シリンダー内の液体の体積は減りますが、これは、風船内の液体の体積増加に等しくなります。ピストンを動かすのに要した仕事は、

，を無視して、

......[答]　･･･�@

(2) 風船の表面積の変化は、

を無視して、

......[答]　･･･�A

　∴ ......[答]　･･･�B

�U(1) 半径の風船内の圧力を，半径内の風船内の圧力をとすると、�Bより、

，　･･･�C

の場合、より、です。よって、弁を開くと、圧力の高い半径の小さい風船からもう一方の半径の大きい風船の方に気体が移ります。　�A ......[ア]
つまり、�Bより、半径が小さくなると風船内の圧力が高くなります。充分時間が経過すると、半径の小さい風船から大きい方へ気体が移り、半径の小さい風船はしぼんでしまいます。　�C ......[イ]
理由：半径の小さな風船の方が風船内の圧力が高くなるため。 ......[答]

(2) 風船内の気体の温度は一定に保たれているので、これをT，気体定数をRとします。半径の風船内にモルの気体があるとして、状態方程式は、

　･･･�D

半径の風船内にモルの気体があるとして、状態方程式は、

　･･･�E

最初半径だった風船は完全にしぼんでしまうので、最初半径だった風船の方に気体は全部移ってしまい、半径がになった風船にはモルの気体があり、これの圧力をとすると、状態方程式は、

　･･･�F

�Bと�Cとより、

∴ ......[答]

�V　半径rの関数となった係数： (，)

半径rの風船内の圧力は、

　･･･�G

　･･･�H

　･･･�I

この左辺をとおきます。
ここで、近辺で、温度一定、つまり、が一定の条件下で半径rが2通りの値をとれるか、ということが問題になります。を微分すると、

なので、はrの単調増加関数です。　･･･(＊)
つまり、一つのの値に対して、一つのrの値しかとることができず、これでは、半径が異なる二つの風船を実現できません。

そこで、nを含めてが一定と考えずに、弁が開いていて二つの風船の圧力が等しいことに着目します。風船Eと風船Fの半径が、異なる値、， ()だったとして、仮にであったとすると、温度一定であれば、EとFの中にある気体のモル数，は、その体積に比例すると考えられます。つまり、

　･･･�J

このとき、E内の温度，F内の温度について、状態方程式、

，　･･･�K

，

となりますが、と�Jよりです。つまり、同一温度で半径が異なる二つの風船を実現できます。
�Gで、ある特定の圧力に対して、となるrが2通り取れるか、調べます。を微分すると、

とすると、，

r
	＋	＋	0	−

増減表とより、を満たすに対してとなるrは2通りの値をとり得ます。この2通りの値を， ()として、であって、： = ：であれば、上記のようにとなります。

最初二つの風船がどちらも半径で、片方をわずかにしぼませて半径をよりも小さくしたとして、�U(1)と同じように考えてみます。
仮に、だとすると、上記の増減表により、半径が小さくなった風船内の気圧は下がります。一方で、他方の風船は気体がわずかに流入して半径がから増し、気圧が上昇します。気体は圧力の高い方から低い方に移るので、元の状態、ともに半径の状態に戻ってしまいます。
だとすると、しぼんだ風船の半径はより小さく、他方の風船の半径はより大きく、両者の圧力が一致すれば半径が異なる二つの風船になります。
だとすると、上記の増減表より、半径が小さくなった風船内の気圧は上昇します。一方で他方の風船は気体がわずかに流入して半径がから増し、気圧が下がります。気体は圧力の高い方から低い方に移るので、半径が小さくなった風船の半径はますます小さくなり、他方の風船の半径はますます大きくなります。半径の小さい方の風船の半径がより小さくなっても、しばらくは、半径の小さい方から大きい方へ気体が移りますが、やがて、両者の気圧が一致した時点で、気体の移動が止まり、半径が異なる二つの風船となります。
以上より、求める条件は、 ......[答]

(2) 気体の温度をTとします。小さい風船E，大きい風船Fについて、それぞれ半径を，，モル数を，として、風船内の気体の状態方程式は、�Kで与えられます。�Kの2式を辺々足し合わせ、とすると、nは一定で、

，を代入すると、

　･･･�L

弁が開いているので、両者の圧力について、であり、�Gより、

より、

　･･･�M

条件�Mのもとに、�LでTを増大させたときに、，がどうなるかを調べ、，がどうなるかを考えれば良いのですが、高校の範囲では困難で、暗礁に乗り上げます。
そこで、数式的に処理するのは諦め、定性的に考察することにします。
温度Tが上昇するとき、�Iのにおいて、(＊)よりがrの単調増加関数であることから、Tが増大すれば、�Iを満たすrも大きくなります。従って、もも大きくなろうとします。なので、上記の増減表より、風船E内の圧力は大きく、風船F内の圧力は小さくなろうとします。すると、風船E内の圧力が風船F内の圧力よりも大きくなろうとするので、風船Eから風船Fに気体が移動を始めます。その結果、風船Eの半径は小さくなり、風船Fの半径は大きくなります。ということは、上記の増減表より、風船F内の気圧は下がる、ということで、風船Eと風船Fの気圧が一致するとき、風船内の気圧は低くなります。
低くなった ......[答]　理由：温度を上げると、二つの風船の半径が大きくなり、小さい風船内の圧力は増大しようとし、大きい風船内の圧力は減少しようとし、小さい風船から大きい風船に気体が移動する。両者の気圧が一致するとき、大きい風船の半径は大きくなっており風船内の気圧は低くなる。 ......[答]

(3) (2)によると、温度が下がると、風船内の圧力は高くなります。上記の増減表によると、二つの風船の半径は、小さい方が大きくなり、大きい方が小さくなり、やがて、両者ともになったところで、二つの風船の半径は等しくなります。さらに温度を下げると、�Iのにおいて、(＊)よりがrの単調増加関数であることから、Tが減少すれば、�Iを満たすrも小さくなり、やがてになります。そうなっているグラフは、�E ......[答]

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