東大物理'23年前期[3]

東大物理'23年前期[3]

ゴムひもを伸ばすと、元の長さに戻ろうとする復元力がはたらく。一方でゴム膜を伸ばして広げると、その面積を小さくしようとする力がはたらく。この力を膜張力と呼ぶ。十分に小さい面積

だけゴム膜を広げるのに必要な仕事

は

で与えられる。ここでσは[力/長さ]の次元を持ち、膜張力の大きさを特徴づける正の係数である。ゴム膜でできた風船を膨らませると、膜張力により風船の内圧は外気圧よりも高くなる。外気圧は

で常に一定とする。重力を無視し、風船は常に球形を保ち破裂しないものとして、以下の設問に答えよ。

Ⅰ　図3-1のように半径rの風船とシリンダーが接続されている。シリンダーには滑らかに動くピストンがついており、はじめピストンはストッパーの位置で静止している。風船とシリンダー内は液体で満たされており、液体の圧力pは一様で、液体の体積は一定とする。ゴム膜の厚みを無視し、係数σは一定とする。

(1) ピストンをゆっくり動かし風船を膨らませたところ、図3-1のように半径が長さ

だけ大きくなった。ピストンを動かすのに要した仕事を

，p，r，

を用いて表せ。ただし、

は十分小さく、

の二次以上の項は無視してよい。

(2) 設問Ⅰ(1)で風船を膨らませたときに、風船の表面積を大きくするのに要した仕事をr，

，σを用いて表せ。ただし、

は十分小さく、

の二次以上の項は無視してよい。

(3) pを

，r，σを用いて表せ。ただし、ピストンを介してなされる仕事は、全ての風船の表面積を大きくするのに要する仕事に変換されるものとする。

Ⅱ　図3-2のように、小さな弁がついた細い管の両端に係数σの風船がついており、中には同じ温度の理想気体がが封入され、気体の温度は常に一定に保たれている。最初、弁は閉じており、風船の半径はそれぞれ

，

である。管内と弁の体積、ゴム膜の厚みを無視し、係数σは一定とする。また、風船がしぼみきった場合、風船の半径は無視できるほど小さくなるものとする。

(1)

の場合に弁を開いて起こる変化について、空欄

と

に入る最も適切な語句を選択肢①～④から選べ。また、下線部についての理由を簡潔に答えよ。

弁を開くと気体は管を通り、半径の

風船からもう一方の風船に移る。十分時間が経った後の風船は、片方が半径

で、

。

①　大きい　　②　小さい
③　他方も半径

になる　　④　他方はしぼみきっている

(2) σを

，

および、設問Ⅱ(1)で与えられた

を用いて表せ。

Ⅲ　実際の風船では、膜張力の大きさを特徴づける係数σは一定ではなく、半径rの関数として変化する。以下の設問では、風船の係数σは関係式

　(

)

に従うと仮定する。ここでaと

は正の定数であり、温度によって変化しないものとする。風船の半径は常に

より大きいものとする。

(1) 図3-3のように、理想気体が封入され、風船の半径がどちらも

の場合を考える。弁を開いて片方の風船を手でわずかにしぼませた後、手を放したところ、風船の大きさは変化し、半径が異なる二つの風船となった。

が満たすべき条件を求めよ。ただし、気体の温度は一定に保たれているとする。

(2) 設問Ⅲ(1)で十分時間が経った後、弁を開いたまま、二つの風船内の気体の温度をゆっくりわずかに上げた。風船の内圧は高くなったか、低くなったか、理由と共に答えよ。必要ならば、図を用いてよい。

(3) 設問Ⅲ(2)で十分時間が経った後、今度は風船内の気体の温度をゆっくりと下げた。二つの風船の半径を温度の関数として図示するとき、最も適切なものを図3-4の①～⑥から一つ選べ。

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解答　目新しい設定の問題ですが、Ⅱ以降はカンで答えるとウラをかかれます。特にⅢは色々と悩むことになります。風は高気圧から低気圧に向かって吹く、という原則で考えましょう。

Ⅰ(1) ピストンの面積を

，ピストンを押す左向きの力をFとして、ピストンには他に、外気圧による左向きの力

，液体の圧力による右向きの力

が働きます(右図)。ピストンをゆっくり押すので力のつり合いが成立し、ピストンに働く力のつり合いより、

　∴

ピストンが

動くとき、シリンダー内の液体の体積の減少は

ですが、これは、風船内の液体の体積増加

に等しくなります。ピストンを動かすのに要した仕事は、

，

を無視して、

......[答]　･･･①

(2) 風船の表面積の変化

は、

を無視して、

問題文中の式を用いて、風船の表面積を大きくするのに要した仕事は、

......[答]　･･･②

(3) ピストンを介してなされる仕事が、全て風船の表面積を大きくするのに要する仕事に変換されるとして、①＝②とすると、

　∴

......[答]　･･･③

Ⅱ(1) 半径

の風船内の圧力を

，半径

内の風船内の圧力を

とすると、③より、

，

　･･･④

の場合、

より、

です。よって、弁を開くと、圧力の高い半径の小さい風船からもう一方の半径の大きい風船の方に気体が移ります。　② ......[ア]
つまり、③より、半径が小さくなると風船内の圧力が高くなるので、充分時間が経過すると、半径の小さい風船から大きい方へ気体が移りつづけ、半径の小さい風船はしぼんでしまいます。　④ ......[イ]
理由：半径の小さな風船の方が風船内の圧力が高くなるため。 ......[答]

(2) 風船内の気体の温度は一定に保たれているので、この温度をT，気体定数をRとします。半径

の風船内に

モルの気体があるとして、状態方程式は、

　･･･⑤

半径

の風船内に

モルの気体があるとして、状態方程式は、

　･･･⑥

最初半径

だった風船は完全にしぼんでしまうので、最初半径

だった風船の方に気体は全部移ってしまい、半径が

になった風船には

モルの気体があり、これの圧力を

とすると、状態方程式は、

　･･･⑦

⑤＋⑥と⑦より、

④と

より、

∴

......[答]

Ⅲ　半径rの関数となった係数：

(

，

)を用いて、

④より半径rの風船内の圧力

は、

　･･･⑧

(1) 一定に保たれている温度をTとします。半径rの風船内に気体がnモルあるとして、気体の状態方程式は、

　･･･⑨

⑧より、

　･･･⑩

この左辺を

とおきます。
ここで、

近辺で、温度一定、つまり、

が一定の条件下で半径rが2通りの値をとれるか、ということが問題になります。

を微分すると、

なので、

はrの単調増加関数です。　･･･(＊)

つまり、一つの

の値に対して一つのrの値しかとることができず、これでは、半径が異なる二つの風船を実現できません。

そこで、nを含めて

一体で一定、と考えずに、T一定であってもnは異なると考え、弁が開いていて二つの風船の圧力が等しいことに着目します。風船Eと風船Fの半径が、異なる値、

，

(

)だったとして、仮に

であったとすると、温度一定であれば、EとFの中にある気体のモル数

，

は、その体積に比例すると考えられます(状態方程式

においてpとTがともに一定であれば、Vはnに比例する)。つまり、

　･･･⑪

このとき、E内の温度

，F内の温度

について、状態方程式、

，

　･･･⑫

より、

，

　･･･⑬

となりますが、

であったとしても、

であって⑪が成立すれば、

になります。つまり、同一温度で半径が異なる二つの風船を実現できることになります。
そこで、⑧の

について、ある特定の圧力

に対して、

となるrが2通り取れるか、調べます。

を微分すると、

とすると、

，

これより、増減表は、

r
	＋	＋	0	－

増減表と

より、

を満たす

に対して

となるrは、右図のように2通りの値

，

をとります。但し、

　･･･⑭

これより、

であって、

：

であれば、⑬より

となります。

最初二つの風船がどちらも半径

で、片方をわずかにしぼませて半径を

よりも小さくしたとして、Ⅱ(1)と同じように考えてみます。上記の増減表より、

において

はrの増加関数であり、

において

はrの減少関数である　･･･(＊＊)

ことに注意します。

仮に、

だとすると、半径が

よりもわずかに小さくなった風船内の気圧は下がり(右図(i)青線)、他方の風船は気体がわずかに流入して半径が

から増し、気圧が上昇します(右図(i)橙線)。気体は圧力の高い方から低い方に移るので、半径の大きい方から小さい方へ気体が移動し、やがて元の状態、ともに半径

の状態に戻ってしまいます。

だとすると、しぼんだ風船の半径は

より小さく、他方の風船の半径は

より大きく、両者の圧力が一致すれば半径が異なる二つの風船になります。

だとすると、半径が

よりもわずかに小さくなった風船内の気圧は上昇し(右図(ii)橙線)、他方の風船は気体がわずかに流入して半径が

から増し、気圧が下がります(右図(ii)青線)。気体は圧力の高い方から低い方に移るので、半径が小さくなった風船の半径はますます小さくなり、他方の風船の半径はますます大きくなります。半径の小さい方の風船の半径が

より小さくなっても、しばらくは他方の風船よりも圧力が高く、半径の小さい方から大きい方へ気体が移ります。やがて、両者の気圧が一致した時点で、気体の移動が止まり、半径が異なる二つの風船となります(半径の小さい方は、半径が

より小さくなった後、

の範囲で変化し、圧力は

の範囲で変化するので、必ずどこかで二つの風船の圧力が一致します)。
以上より、求める条件は、

......[答]

(2) 気体の温度をTとします。小さい風船E，大きい風船Fについて、それぞれ半径を

，

，気体のモル数を

，

として、風船内の気体の状態方程式は、⑫で与えられます。⑫で

として2式を辺々足し合わせ、

とすると、nは一定で、

　･･･⑮

また、⑧より、

，

　･･･⑯

これを⑮に代入すると、

　･･･⑰

また一方、弁が開いているので、両者の圧力について、

であり、⑮より、

分母を払って整理すると、

より、

　･･･⑱

条件⑱のもとに、⑰でTを増大させたときに、

，

がどうなるかを調べ、

，

がどうなるかを考えればよいのですが、高校の範囲では困難で、暗礁に乗り上げます。
そこで、数式的に処理するのは諦め、定性的に考察することにします。

温度Tが上昇するとき、⑩の

において、上記(＊)より

がrの単調増加関数であることから、⑩を満たすrも大きくなります。従って、

も

も大きくなろうとします。右図において、⑭より、

なので、上記の(＊＊)より、風船E内の圧力は大きく(右図橙線)、風船F内の圧力は小さく(右図青線)なろうとします。すると、風船E内の圧力が風船F内の圧力よりも大きくなろうとするので、風船Eから風船Fに気体が移動を始めます。その結果、風船Eの半径は小さくなり、風船Fの半径は大きくなります。ということは、右図より、風船F内の気圧は下がる、ということであり、弁が開いているので、二つの風船の内圧は低くなるということです。

低くなった ......[答]　理由：温度を上げると、二つの風船の半径が大きくなり、小さい風船内の圧力は増大しようとし、大きい風船内の圧力は減少しようとし、小さい風船から大きい風船に気体が移動する。大きい風船の半径は