共通テスト数学IA '25年第2問
[1] 花子さんと太郎さんは、公園にある二つの小さな噴水と大きな噴水の高さについて話している。
花子：あの中央の噴水の高さは何メートルだろう。
太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水がえがく曲線は、放物線になると聞いたことがあるよ。
花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。
噴水のえがく曲線は三つとも放物線とする。三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある。図1のように座標軸が定められた平面上に、三つの噴水を正面から見た図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定1を、中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定2を設定する。図1の
，
，
は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
－仮定1－－－－－－－－－－－－－－－－－ ・左側の小さな噴水の水がえがく放物線
は、x軸上の点
から出て点
に至る。 ・右側の小さな噴水の水がえがく放物線
は、x軸上の点
から出て点
に至る。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
－仮定2－－－－－－－－－－－－－－－－－
中央の大きな噴水の水がえがく放物線
は、x軸上の点
から出て
の頂点と
の頂点を通る。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1) 仮定1と仮定2のもとで考える。
をグラフにもつ2次関数を
とする。このとき
であり、また である。
の頂点のy座標は
である。このことを用いると、
の頂点のy座標は
であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの
である。
については、最も適当なものを、次の
～
のうちから一つ選べ。
(2) 花子さんと太郎さんは、大きな噴水の高さについて話している。
花子：正面から見たとき、大きな噴水が小さな噴水の頂点を通って見えるというデザインは変えずに、大きな噴水の高さを変えることはできるのかな。
太郎：左右の二つの小さな噴水は変えずに、大きな噴水の水が出る位置を変えてみたらどうかな。
花子：大きな噴水の高さが5メートルになるときの水が出る位置を考えてみよう。
仮定2の代わりに次の仮定2'をおく。
－仮定2'－－－－－－－－－－－－－－－
・中央の大きな噴水の水がえがく放物線
は、x軸の正の部分の点
から出て
の頂点と
の頂点を通る。 ・
の頂点のy座標は5である。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－
仮定1と仮定2'のもとで考える。このとき、
は
より
だけ
の方にある。
の解答群
[2] 以下の問題を解答するにあたっては、与えられたデータに対して、次の値を外れ値とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
「(第1四分位数)－1.5×(四分位範囲)」以下の値
「(第3四分位数)＋1.5×(四分位範囲)」以上の値
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
太郎さんは、47都道府県における外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の動向を調べるため、それらに関するデータを分析することにした。外国人宿泊者数を、日本国内に住所を有しない宿泊者数の人数の1年間の合計とし、日本人宿泊者数を、日本国内に住所を有する宿泊者の人数の1年間の合計とする。宿泊者数に関するデータは千の位を四捨五入し、1万人の単位で表したものとし、以下においては単位(万人)を省略して用いることとする。例えば、「4567890人」は「457」とする。
なお、以下の図や表については、国土交通省のWebページをもとに作成している。
(1)
(i) 図1は、47都道府県における令和4年の外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の散布図である。なお、散布図には原点を通り、傾きが10の直線(破線)を付加している。また、日本人宿泊者数が1000を超える都道府県の数は12である。
次の(a)，(b)は、図1に関する記述である。
(a) 令和4年について、外国人宿泊者数が100を超え、かつ日本人宿泊者数が2500を超える都道府県の数は2である。
(b) 令和4年について、日本人宿泊者数が外国人宿泊者数の10倍未満である都道府県の割合は50%未満である。
(a)，(b)の正誤の組み合わせとして正しいものは
である。
の解答群
(ii) 47都道府県における令和4年の外国人宿泊者数を分析した結果、外れ値となる都道府県の数は8であった。
一方、表1は47都道府県における令和4年の日本人宿泊者数を、値の小さい順に並べ、その順に都道府県P1，P2，･･･，P47としたものである。この中で、外国人宿泊者数で外れ値となる都道府県(P37，P40，P42，P43，P44，P45，P46，P47)に印*を付けている。
表1 47都道府県における令和4年の日本人宿泊者数
| 都道府県 | 日本人宿泊者数 |
| 都道府県 | 日本人宿泊者数 |
| 都道府県 | 日本人宿泊者数 |
| 都道府県 | 日本人宿泊者数 |
| P1 | 182 |
| P13 | 373 |
| P25 | 620 |
| P37* | 1339 |
| P2 | 187 |
| P14 | 388 |
| P26 | 625 |
| P38 | 1399 |
| P3 | 197 |
| P15 | 395 |
| P27 | 646 |
| P39 | 1547 |
| P4 | 204 |
| P16 | 401 |
| P28 | 670 |
| P40* | 1765 |
| P5 | 255 |
| P17 | 405 |
| P29 | 683 |
| P41 | 1814 |
| P6 | 270 |
| P18 | 452 |
| P30 | 705 |
| P42* | 1970 |
| P7 | 276 |
| P19 | 458 |
| P31 | 831 |
| P43* | 2158 |
| P8 | 286 |
| P20 | 501 |
| P32 | 832 |
| P44* | 2195 |
| P9 | 303 |
| P21 | 522 |
| P33 | 839 |
| P45* | 2831 |
| P10 | 321 |
| P22 | 537 |
| P34 | 876 |
| P46* | 2839 |
| P11 | 328 |
| P23 | 605 |
| P35 | 925 |
| P47* | 5226 |
| P12 | 351 |
| P24 | 613 |
| P36 | 1251 |
| | |
表1のデータにおいて、四分位範囲は
となることから、令和4年の外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の両方で外れ値となる都道府県の数は
である。
の解答群 320 
450 
597 638 
900 
966 
1253 
1261 
1603 
1864
(2) 47都道府県におけるある都市の外国人宿泊者数をx，日本人宿泊者数をyとし、xとyの値の組を、それぞれ
と表す。x，yの平均値をそれぞれ
，
とし、x，yの分散をそれぞれ
，
とする。また、xとyの共分散を
とする。47都道府県それぞれにおける外国人宿泊者数と日本人宿泊者数を足し合わせた合計宿泊者数をzとし、その値を 
(
)と表す。例えば、
のときは
である。zの平均値を
とするとき である。このことに着目すると、zの分散を
とするとき、
となる。
また、令和4年のxとyの間には正の相関があることが図1からわかる。このことから、令和4年について、
と
の関係として、後の～のうち、正しいものは
であることがわかる。
の解答群 
の解答群
(3) 太郎さんが住む地域では、その地域に宿泊を促すためのキャンペーンとして、キャンペーンA，Bが実施されている。
太郎さんは、キャンペーンAの方がよいと思っている人が多いといううわさを聞いた。このうわさのとおり、キャンペーンAの方がよいと思っている人が多いといえるかどうか確かめることにした。そこで、かたよりなく選んだ人たちに、キャンペーンA，Bののどちらがよいかについて、二択のアンケートを行ったところ、アンケートに回答した35人のうち、23人が「キャンペーンAの方がよい」と答えた。この結果から、一般にキャンペーンAの方がよいとと思っている人が多いといえるかどうかを、次の方針で考えることにした。
－方針－－－－－－－－－－－－－－－－－
・"「キャンペーンAの方がよい」と回答する割合と「キャンペーンBの方がよい」と回答する割合は等しい"という仮説を立てる。
・この仮説のもとで、かたよりなく選ばれた35人のうち23人以上が「キャンペーンAの方がよい」と回答する確率が5%未満であれば、その仮説は誤っていると判断し、5%以上であればその仮説は誤っているとは判断しない。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
後の実験結果は、35枚の硬貨を投げる実験を1000回行ったとき、表が出た枚数ごとの回数の割合を示したものである。
実験結果
| 表の枚数(枚) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 割合(%) | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.1 | 0.1 | 0.8 | 1.3 |
| 表の枚数(枚) | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 割合(%) | 2.2 | 4.5 | 6.9 | 9.5 | 12.3 | 13.0 | 12.9 | 11.2 | 9.6 | 7.2 | 4.1 | 2.4 |
| 表の枚数(枚) | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| 割合(%) | 0.9 | 0.5 | 0.4 | 0.0 | 0.1 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
実験結果を用いると、35枚の硬貨のうち23枚以上が表となった割合は、
%である。これを、35人のうち23人以上が「キャンペーンAの方がよい」と回答する確率とみなし、方針に従うと、"「キャンペーンAの方がよい」と回答する割合と「キャンペーンBの方がよい」と回答する割合は等しい"という仮説は
。したがって、今回のアンケート結果からは、キャンペーンAの方がよいと思っている人が
。
，
については、最も適当なものを、次のそれぞれの解答群から一つずつ選べ。
の解答群 誤っていると判断する
誤っているとは判断しない 
の解答群 多いといえる
多いとはいえない
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 [1]，[2]とも凡ミス・錯覚だけが怖い問題です。
[1](1) 
をグラフに持つ2次関数を
･･･① とおくと、
を通るので、
より
，ア 1 ......[答]また、
において
となるので、①は、 とおけて、
より、
，イ 4 ウ 5 ......[答] エ 8 オ 5 ......[答]
より、
の頂点のy座標は
，カ 9 キ 5 ......[答]
はy軸対称で、
を通るので、
をグラフに持つ2次関数は、 
･･･②とおけます。
の頂点
を通るので、 
∴ 
よって、②は、
したがって、
の頂点のy座標は
です。クケ 81 コサ 25 ......[答]
なので、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さのおよそ2倍です。シ 0 ......[答]
(2) 
は
，
の頂点を通るのでy軸対称である点は変わりません。
のx座標をd (
)とすると、
は、
を通り、
をグラフに持つ2次関数は、 
･･･③
の頂点のy座標は5なので、
･･･④これを③に代入すると、
∴ 
④より、
は、
より
だけ
の方にある点です。ス 1 セ 4 ソ 0 ......[答]
[2] ここで言っている「外れ値」というのは、中央値30，第1四分位数27，第3四分位数35となっているのであれば、四分位範囲は8でその1.5倍は12であり、15以下もしくは47以上の値が外れ値です。
(1)(i) 日本人宿泊者数が外国人宿泊数の10倍未満になるのは、散布図のプロットが破線の下側にある場合で、右の方に飛び出している1つだけです。その割合は50%未満です。従って(b)は正です。外国人宿泊者数が100を超え、かつ日本人宿泊者数が2500を超えるのは、外国人宿泊者数が210くらいのプロットと、右の方に飛び出しているプロットの2つだけです。従って(a)も正です。タ 0 ......[答]
(ii) 表1を見ると、中央値はP24の613です。第1四分位数はP12の351，第3四分位数はP36の1251です。四分位範囲は
，チ 4 ......[答] 外れ値となるのは、
より、
以下、あるいは、
以上の値です。よって、外れ値となるのは、P45，P46，P47で、いずれも外国人宿泊者数においても外れ値です。ツ 3 ......[答]
です。テ 4 ......[答]
xとyの間には正の相関があるので、
です。よって、 ト 0 ......[答]
(3) 硬貨投げで表の出る確率と裏の出る確率は等しいと考えます。実験結果を見ると、表が23枚以上になった割合を加えると、
ナ 4 ニ 3 ......[答]硬貨投げで表の出る確率と裏が出る確率が等しいなら、表が23枚以上になる確率は4.3%しかない(5%未満なのでほとんどあり得ない)ということです。もし、Aをよいとする人とBをよいとする人が同じ割合だとすると、35人中23人がAだとする確率も5%未満で非常に少ないということです(二項分布を参照)。つまり、"35人のうち23人以上が「キャンペーンAの方がよい」と回答する確率が5%未満"なので、「キャンペーンAの方がよい」と回答する割合と「キャンペーンBの方がよい」と回答する割合は等しい"という仮説は誤りということになります。つまり、キャンペーンAの方が良いと思っている人が多いと言えます。
ヌ 0 ネ 0 ......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2025(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
と
はともに点
を通る。
，
，･･･，
の頂点
，
の頂点
を通るので、
∴ 
(
)
として、
，
，
です。
)