熊本大理数学'07年後期[3]
数列
は
，
(
)
で与えられているとする。また、
とし、xに関する方程式
の正の解をaとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。
(2) すべての正の整数nについて、
であることを証明せよ。 (3) 
において、
であることを証明せよ。 (4) 
とするとき、すべての正の整数nについて、
であることを証明せよ。 (5) 
の値を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 
タイプの漸化式の極限を求める問題です。
(1) 
(2) 
です。 
･･･①より、
であれば、
，つまり、
です。
よって帰納的に(数学的帰納法を参照)、すべての正の整数nについて、
です。 (証明終)
(3) 
(4) 
と(2)の結果を合わせて、 これより(3)の結果において
とすると、 ∴ 
(証明終)別解 ①より、
より、
∴ 
とすることもできます。
(5) (2)より
(4)より
∴ 
ここで
とすると、
よって、はさみうちの原理より、
∴ 
......[答]
追記．
タイプの漸化式で与えられる数列
では、
がある範囲
で
であって、
で
が存在すれば、方程式
の
における解をαとして、
となります。
なぜなら、平均値の定理より、
，
をみたす実数cが存在して、
の
における最大値をmとすれば、
で、
より、
のとき
となるからです。
本問では、
とおくと、
，
は単調減少関数で、
においては、
なので、
は、
の解9になります。
本問の(4)に出てくる
の
という値は、
の
における平均変化率
であって、
は、
であれば平均変化率について、
であることを意味しています。なお、北大理系'08年前期[3]も参照してください。
，
という漸化式で与えられる数列の極限
を求める問題をしばしば見かけますが、
，
において、
となり、
をみたす解は
なので、
となります。
という風にして1に近づいていきます。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
とすると、
......[答]
においては、
(証明終)
，
，
，
，
，