北大理系数学'08年前期[3]
関数
を
とする。
(1) 
ならば、
となることを示せ。 (2) 
となるxをすべて求めよ。 (3) 
とし、数列
を とする。αの値に応じて、
を求めよ。
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解答 定型パターンで速攻解決、と思うと、「甘い」と言われてしまう問題です。
京大理系'84年[6]に、
で定義された関数
が、
，
をもち、
，1より小さいある定数kについて
，をみたすときに、方程式
が
の範囲にただ1つの解
をもち、
で定義される数列
について、
となる(数列の極限を参照)ことを導く、という問題がありました。
とおくと、
より、
は
において減少関数で、
，
より、
は、
の範囲にただ1つの解αをもちます。
数列の各項
の中に
となる項があれば、
より、n以上の整数nについて
となってしまうので、
です。
すべての項について
であれば、与えられた仮定によって、平均値の定理により、
をみたす実数cが必ず存在します。この左辺は、
であり、仮定により、
なので、
よって、
∴ 
ここで
とすれば、
より
(等比数列の極限を参照)と、はさみうちの原理によって、
となります。
この問題以降、
に具体的な関数の形を与え、
の増減や方程式
の解などを調べさせ、
で定義される数列の極限
を求めさせる、という問題をよく見かけるようになりました。上記のように平均値の定理を使えば簡単にすんでしまうので、解法パターンを覚えてしまえば確実に得点源にできる問題でした。北大でも、'95年理系後期[3]において出題されたことがあります。
実は、2項間漸化式
も
とみなせば、このタイプの1例に過ぎません。
この北大の問題も、この定型パターンのように見えるのですが、
において
となる場合があるので、喜び勇んで平均値の定理を使って答案を書き始めても行き詰まります。それは、
の解が、
においては
だけですが、
においては
，
も解になっていて、初項によっては、数列が0や1に近づく場合もあるように問題が作ってあるからです。右図のグラフで、
とたどるとどうなるかを考えてみてください。
ですが、この問題も、平均値の定理が使えなくても、平均変化率を考えれば同様の発想で解決します。
(2) 
･･･①より、
......[答]
(3) 右上図で考えればわかると思いますが、
の場合は、ずっと
のままなので極限値も
になり、
の場合はグラフ上を原点の方に近づいて極限値0，
の場合はグラフ上を
の方に近づいて極限値1ということになりそうです。下記のようなことが思いつけないときでも、グラフを描いてしっかり説明しておけば、半分くらいは点数がもらえると思います。 平均値の定理が使えないので、極限値をpとして、
(
)の形を作るために、右上のグラフで、点
と点
を結ぶ直線の傾き(平均変化率)に着目します。この問題では、点
を
，
として考えます。
図からわかるように、平均変化率：
は0と1の間に収まりそうです。
(i) 
のとき、
，
より、2以上のずべての自然数nについて、 となるので、
①より、
これより、
のとき
･･･②
のとき
･･･③
となります。 (ii) 
のとき、 
と仮定すると、②より、となるので、すべての自然数nについて
です。しかも、
です。
従って、すべての自然数nについて、
です。
ここでは、平均変化率
を考えていることに注意してください。
において関数
を考えると、 これより、
また、
が増加関数であることから、
であれば、 つまり、数列
はn増大とともに減少する数列です。
これより、すべての自然数nについて、 
とおくと、
であって、
(iii) 
のとき、 
と仮定すると、③より、となるので、すべての自然数nについて
です。しかも、
です。
今度は、平均変化率
を考えます。
なので、
です。
において関数
を考えると、 これより、
また、
が減少関数であることから、
であれば、 つまり、数列
は、n増大とともに減少する数列です。
これより、すべての自然数nについて、 
とおくと、
であって、
(i)，(ii)，(iii)より、
......[答]
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， 
(
)
，
または、
より
，
，
，
ならば、
です。
なので、
においては、
より
は増加関数であって、
，
なので、
において
より
は減少関数であって、
とすると、
とはさみうちの原理より、
とすると、
と