北大理系数学'08年前期[5]
関数
と
を
の範囲で定義された連続関数とする。
(2) 
を満たす
を求めよ。
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解答 積分方程式と呼ばれるタイプの問題です。
(1) 上端と下端が定数の定積分の値は定数になるはずですが、
を定数とおくことはできません。なぜなら、xが変化すると
の値は変化してしまい定数ではないからです。被積分関数の中の
の
が積分の際に邪魔になります。
で、tで積分する際にtが変化しても
は変化しないので、
を定数として積分の外に追い出します。 
は定数になるので、これをAとおき、
･･･①これより、
･･･②これを①に代入すると、
(2) (1)と同様にして、
･･･③とおくと、
･･･④これを③に代入すると、
ここで、
より、
∴ 
④より、
......[答]
追記．積分方程式にはいろいろなタイプがあります。
定積分の上端も下端も定数の場合には、上記にように、定積分を文字に置き換えると、未知の関数の形が決まり、定積分が実行できるようになります。
上端、下端が変数になっている問題、例えば、
大分大工'07年[4]：
aを正の定数とする。関数
は
で を満たす。ただし、対数は自然対数とする。
(1) 
を求めよ。 (2) aの値を求めよ。
この問題では、
(定積分の微分を参照)を使います。
(2)では、定積分を0にするように、上端のxを下端のaに一致させます。
(1) 
･･･①
①の両辺をxで微分すると、
(積の微分法を参照)
∴ 
......[答]
(2) ①において、
とすると、
∴ 
より
，
∴ 
......[答]
北大の本問では、被積分関数の中の
は
とすることによって、簡単に積分の外に追い出すことができましたが、簡単には追い出せないタイプの問題があります。例えば、
宮城教育大'06[5]：
次の各問に答えよ。
(1) 置換積分法を用いて、不定積分
を求めよ。 (2) 次の等式を満たす関数
を求めよ。
(C：積分定数) ......[答] (置換積分を参照)(2) 被積分関数の中の
のxが積分の邪魔になります。このxは簡単には積分の外に出て行ってくれません。加法定理を使います。 これでxを積分の外に追い出すことができました。
･･･①，
･･･②とおくと、 ③を①に代入すると、
ここで、
よって、
，
･･･⑤③を②に代入すると、
第1項の積分は④より
第2項の積分は、
とおくと、
，t：
のとき、u：
よって、
，
･･･⑥⑤，⑥を連立すると、
，
③より、 
......[答]
さらに、被積分関数に三角関数が入り、上端、下端に変数が入るタイプもあります。
東京理科大理'98[3]：
xの関数
，
が、関係 を満たすとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 正弦の加法定理を用い、
の第2次導関数
を
と
で表せ。 (2) 
として、
を求めよ。 (3) (2)の場合について
を求めよ。
･･･①
とします。
(1) まず、加法定理を用いて、被積分関数の中のxを積分の外に追い出します。 
･･･②xが積分の外に出たので、両辺をxで微分します。
･･･③さらにxで微分すると、
中カッコ内は②より
です。よって、 
......[答](2) 
xで積分して、
･･･④③において、
とすると、定積分は0となり、
④で
として、 ∴ 
∴ 
xで積分して、 ②において、
とすると、定積分は0となり、
⑤で
として、 ∴ 
∴ 
......[答] (3) (1)の結果を用いて、
......[答]
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を満たす
は定数関数
のみであることを示せ。
より、
とおくと、
より
･･･③
とおくと、
，t：
のとき、u：
