帯広畜産大数学'08年[2]
頂点が
で、点
を通る2次関数
があり、
とする。
(1) 関数
を求めよ。 (2) 
の増減表を作り、そのグラフを書け。 (3) 曲線
の
における接線の方程式を求めよ。 (4) 曲線
とx軸とで囲まれた部分で、一辺がx軸と平行でかつ2つの頂点が曲線
上にある長方形を作るとき、面積が最大となる長方形の4つの頂点の座標とその面積を求めよ。 (5) 点
から曲線
に異なる3本の接線が引けるとき、点
の存在する範囲を不等式で表し、またその範囲を図示せよ。
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解答 2次関数、3次関数のグラフあり、接線あり、最大値あり、2次方程式、3次方程式の解の条件あり、存在範囲あり、で、てんこ盛りのセンター試験用練習問題です。
(1) 
の頂点が
であることから、 
とおくことができます(2次関数を参照)。
が
を通るので、∴ 
∴ 
......[答]
(2) 
とすると、
，
(3) 曲線
の
における接線は、 整理して、
......[答] ･･･①
(4) 曲線
はy軸に関して対称なので、長方形も対称になり、x軸と平行な辺の両端にくる曲線
上の2点は、
として、
，
(
)です。ただし、この2点は、曲線
の
の部分に存在するので、 より、
です。
長方形の横が
，縦が
より、長方形の面積
は、 増減表より、長方形の面積は
のとき最大値
......[答] をとり(3次関数の最大・最小を参照)、
より、このとき、長方形の4頂点の座標は、
，
，
，
......[答]
(5) 点
から曲線
に異なる3本の接線が引けるとき、この点のx座標をa，y座標をbを書くことにします(x，yのままだと、曲線
上の点、接線上の点と混同しやすくなるので、別の文字にします)。接線①が点
を通るので、 これをtに関する3次方程式と見て整理すると、
この左辺を
とおくと、点
から曲線
に3本の接線が引ける、ということは、接点が3個できて、接点のx座標を解にもつ3次方程式
が相異なる3実数解をもつ、ということです。
このための条件は、関数
が極大と極小をもち、(極大値)×(極小値)が負になることです(微分法の方程式への応用を参照)。 
であれば、極大、極小が存在します(2次方程式
の判別式が正、としてもOK)。
このとき、
，
のいずれか一方が極大値で他方が極小値です。よって、ここで、
を
に戻すと、点
から曲線
に異なる3本の接線が引ける条件は、 となりますが、不等式において
としても、
となって成り立たないので、点
の存在する範囲は、 
......[答]
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かつ 
，
)
において接しており、求める範囲は、
より下側であってかつ
より上側、または、
より上側であってかつ
より下側、より、右図斜線部。