静岡大理系数学'08年[2]
a.bを定数とし、2次方程式
は実数解α，β (
)をもつとする。次の問いに答えよ。
(1) 次の等式を証明せよ。
(2) a，bを有理数とし、β が自然数nを用いて
と表されているとする。 (i) 
となるためのnが満たす条件を求めよ。 (ii) 
とする。区間
において曲線
とx軸ではさまれた図形の面積を
とする。曲線
とx軸で囲まれた図形の面積を
とする。
となるnの値を求めよ。
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解答 有理数となる条件を考えるところがあるほかは単なる計算問題ですが、センター試験でもよく見られるパターンなので採り上げてみます。(2)(i)，下記では
が無理数であることの背理法による証明をつけておきます(実数を参照)が、試験会場では
が無理数であることを前提としてOKでしょう。平凡に計算して充分に解答可能ですが、(2)(ii)については、旺文社全国大学入試問題正解に、放物線のグラフの特性を活用した白眉のアイデアが載っています。
(2) 
が有理数だと仮定して、
(p，qは互いに素な整数)とおくと、分母を払って2乗し、 これよりpは3の倍数ですが、
(rは整数)とおくと、 これよりqも3の倍数となりますが、p，qともに3の倍数になると、「p，qは互いに素な整数」とした仮定に矛盾します。よって、仮定は誤りで
は無理数です。c，dを有理数として、
とおきます。
①より、 整理して、
･･･②となり、無理数が有理数に等しいことになって不合理です。従って、
とした仮定は誤りで、 このとき、②より、
，従って、 
，
･･･③①より、
②と同様にして、
つまり、
，
･･･④(i) ④，
より、 nは自然数なので、
であり、
より、 
......[答]
と③より、
･･･⑤
(ii) 
は右図水色着色部分、
は右図黄色着色部分の面積です。④，⑤を用いて、
より、整理して、
より、
......[答]
追記．(1)については、いろいろな証明法が考えられます。
一般的に、m，nを自然数として、
がどうなるかを考えてみます。
(1) 
(C：積分定数)による計算 
を
と変形して、n乗を二項定理を用いて展開します。本問は、
の場合ですが、 となります。
，
とすると、 となり、
が得られます。
よって、
のときは、
，
のときは、となります。
(1)，(2)を比較して、
より、
となることが導かれます。
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(証明終)
と仮定すると、
，
は有理数なので、
(
です)
，
･･･①
が得られました。