山口大医学部数学'08年[4]
，
とする。2次の正方行列
(
)が
を満たす。ただし、Oは零行列とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 
とするとき、
を求めよ。また、
(
)を求めよ。
(2) 
(
)をB，Cを用いて表せ。
(3) 
(
)を求めよ。
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解答 現問題文は、「求めなさい」「表しなさい」という表現(個人的には抵抗感が強いです)なのですが、ピンと来ないので、入試問題らしい「数学風」の言い方に改めました。
さて、この問題は、(1)は行列の対角化によって行列の累乗を求めるよくある問題ですが、(2)(3)は、行列の3項間漸化式の問題です。行列では、
と言えないので、数値の場合の3項間漸化式と同じようには行きません。行列の漸化式が来年度の入試で流行する可能性も視野に入れて、行列では数値とどう違うのか、考えてみたいと思います。
......[答]両辺をn乗すると、
より、
左からP，右から
をかけると、 
......[答]
(2) 問題文中の漸化式は、数列
が、3項間漸化式： を満たすのであれば、
と2通りに等比数列の形を作って一般項
を求めます。
しかし、行列の列を扱うこの問題では、
となるので、等比数列の形を2通り作ることができません。
ですが、1通りであれば、等比数列の形を作ることができます。
･･･①注．上記のように
なので、
は成り立ちません。
①を繰り返して使うことにより、 
･･･②2次の単位行列をEとして、
よって、②より、
･･･③
･･･④
･･･⑤④－⑤として、
これで等比数列の形を作ることができますが、③では、行列に割り算がないので、数列と同じようには行きません。
そこで、階差数列の和を求める方法を応用して、
以外の項が消去されてしまうようにします。 
(③で
とした式の左からCをかけた)
(③で
とした式の左から
をかけた)･･････
･･･⑥∴ 
......[答]
(3) ⑥の右辺に出てくる項は、(1)の結果を使って、
より、
これより、⑥から、
∴ 
......[答]
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，
(ここで、
なので、
に注意)
，
，･･･，
が消えて、
で割って、