岐阜大数学'09年[1]
a，b，mを正の実数とする。xy平面上の点A
から直線
へ下ろした垂線の足を
とし、x軸に関して
と対称な点をPとする。また、点B
から直線
へ下ろした垂線の足を
とし、y軸に関して
と対称な点をQとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点P，Qのそれぞれの座標を求めよ。
(2) 線分P，Qを2：1に内分する点をRとするとき、Rの座標を求めよ。
(3) mが
の範囲を動くとき、Rの軌跡を求め、図示せよ。
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解答 軌跡に関する基本問題です。軌跡の範囲に注意しましょう。
と連立すると、∴ 
，
P
......[答] 直線
の傾きも
，方程式は、 
と連立すると、∴ 
，
Qのy座標は
のy座標と一致し、x座標は
のx座標の符号を変えたもので、 Q
......[答]
(2) PQを2：1に内分する点Rのx座標は、
(3) 
，つまり、
のとき、Rのx座標、y座標は0で、Rは原点に来ます。 
のとき、②÷①より、
･･･③これを①に代入すると、
より
なので、xで割って分母を払うと、これは、中心
，半径
の円(円の方程式を参照)で、原点以外に、x軸とは
，y軸とは
で交わります。
③より、Rは、直線
上の点であることがわかりますが、
のとき、直線
は、第2象限と第4象限、及び、原点しか通りません。従って、Rの軌跡も、第2象限、第4象限、及び、原点の範囲内に限られます。
求める軌跡は、円：
の
と
の間で原点側の部分(両端は含まない)、図示すると右図黒色太線(白マルを除く) ......[答]
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は、直線
に垂直なので、傾きは
の
の
......[