茨城大理数学'09年[2]
関数
を考える。以下の各問いに答えよ。
(1) 関数fのグラフについて、座標軸との交点、凹凸、漸近線を調べ、その概形をかけ。
(2) x軸、y軸および関数fのグラフで囲まれた図形Aをx軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積Vを求めよ。
(3) 部分積分法により
を求めよ。
(Cは積分定数)を用いてよい。 (4) (2)の図形Aをy軸のまわりに1回転して得られる立体の体積Wを求めよ。
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解答 数学Ⅲの範囲全般にわたる基礎問題です。
(1) 
，
より
は単調減少関数です(関数の増減を参照)。
より
のグラフは上に凸です(関数の凹凸を参照)。x軸との交点は
，y軸との交点は
です。
のとき、
より、
のとき、
，
よって、
のグラフは漸近線：
をもちます。
のグラフの概形は右図黒色太線。
(2) 図形Aは、右上図の黄色着色部分で、
の範囲に存在します。回転体の体積は、
(4) 図形Aは、
の範囲に存在するので、回転体の体積は、 積分を実行するためには、xをyを用いて表す必要があります。
より、 
......[答]
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お送りください。 
......[答]
(C：積分定数) ......[答]
，
，
とおくと、
，y：
のとき、u：
