名大数学'10年[2]
関数
について、次の問いに答えよ。必要ならば、任意の自然数nに対して
が成り立つことを用いてよい。
(1) 
のグラフの変曲点を求め、グラフの概形をかけ。 (2) 
とする。点
を通る
のグラフの接線が1本だけ存在するようなaの値を求めよ。また、aがその値をとるとき、
のグラフの
の部分、その接線およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
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解答 微積分の標準的な問題ですが、ややこしい計算は慎重に行う必要があります。
(1) 
とすると、
，
(2) 
のグラフ上の点
における接線は、 
･･･①
を通るので、この右辺を、
とおくと、 
とすると、
増減表より、接線がただ1本引ける、即ち、方程式：
がただ1つの解をもつのは、
......[答] のときです(微分法の方程式への応用(2)を参照)。
このとき、
より、
の解は
です。
①に、
を代入すると、接線の方程式は、 
･･･②
において、接線②(右上図青色実線)は、曲線
よりも上にあります。
のグラフの
の部分、その接線およびy軸で囲まれた図形(右上図黄緑色着色部)の面積Sは、より、
追記．③の計算はミスしやすいので、
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とすると、
より、
(複号同順)
，
，
(C：積分定数) ･･･③
......[答]
，
，
より、
，
，
となり、
より、
，
