山梨大医数学'10年[4]
とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数
の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点、漸近線を調べ、グラフをかけ。 (2) 
の第n次導関数を
とする。このとき、任意の正の奇数nに対して、
であることを示せ。 (3) 
であることを示せ。 (4) 任意の正の実数aに対して、
であることを示せ。ただし、必要ならば
であることを用いてもよい。
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解答 定積分の値の評価の問題ですが、(2)，(4)は、考え込むかも知れません。
(1) 
とすると、
変曲点は、
，
......[答]
より、漸近線は
......[答]増減表は、以下の通り。
グラフは右図。
より、
のときも、より、
です。
，
，
を見ていると、
の形(高次の導関数を参照)になっていて、nが正の奇数の時に
は奇数次の項のみの整関数、nが正の偶数のときに
は偶数次の項のみの整関数となることが予測できます。 注．整関数というのは、
という多項式の形に表せる関数のことです。 
のとき、
のとき、
のとき、
となっています。mを自然数だとして、
のとき、
，
は奇数次の項のみの整関数、と仮定します。
･･･①奇数次の項の微分は偶数次の項となり、偶数次の項の微分は奇数次の項となることに注意します(微分・導関数を参照)。
①において、
とすると、仮定により、
は奇数次の項のみの整関数です。
中カッコ内を
とおくと、
は偶数次の項のみの整関数、
も偶数次の項のみの整関数なので、中カッコ内
は偶数次の項のみの整関数になります。
同様に、①において、
とすると、
は奇数次の項のみの整関数、
も奇数次の項のみの整関数なので、中カッコ内を
とおいて、これは奇数次の項のみの整関数です。
よって、帰納的に、
，nが奇数の時に
は奇数次の項のみの整関数、ということが示せました(数学的帰納法を参照)。
よって、nが正の奇数のとき、
なので、
です。 別解．どうやって思いつくのかわかりませんが、以下のような絶妙な解法があります。
微分して、
さらに微分すると、
これを繰り返すと、
･･･②となることが予測できます。これを数学的帰納法で示し、
を代入することによっても、題意を示せます。
(3) (1)の増減表より、
において、
です。 ∴ 
(4) (3)より、
のときには、 は明らかです。
のとき、曲線
は下に凸なので、
において、
のグラフは、その両端
，
を結ぶ線分よりも下側に来ます。従って、
は、
，
，
，
を4頂点とする台形の面積Sよりも小さくなります。 ところが、
のとき、
となってしまうので、 が言えず、(3)を用いても、
とできません。
従って、
であって、
となるような、別の
を探すことになります。
高校の範囲では
の積分計算を行えないのですが、
であれば、積分計算を実行できます。
のときだけ考えればよいので、
だとすると、
として、 つまり、
であれば
です。
のときには(3)を利用することにして、両辺を
において積分すると、 右辺の積分は、
とおくことにより、
，x：
のときt：
(置換積分を参照) 以上より、
の場合には、
追記．実は、この問題には背景があります。(2)に出てきた
を用いて、
と表される多項式をエルミート多項式と言います。このときの
を母関数と言います。
などとなります。
②と、
･･･③，
･･･④，
とから、
∴ 
･･･⑤
④両辺を微分すると、
③より、
∴ 
･･･⑥
⑤と比較して、
･･･⑦
･･･⑧
⑦を用いて、
∴ 
･･･⑨
これが、
が従う微分方程式です。
大学で学ぶ物理の中で「量子力学」という分野があります。その中の「調和振動子」の問題で登場する微分方程式です。(2)の別解は、こうしたところから発想したものでしょう。
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とすると、
，
のとき、
より、
です。
より、
なので、
，
，
，
