山梨大医数学'10年[2]
表が出る確率がp，裏が出る確率が
である硬貨をn回投げる。このとき、硬貨を1回投げるごとに、表ならばAを記録し、裏ならばBを記録して、1回目から順番に1列に並べる。ただし、nは2以上の整数であり、
とする。このように並べたn個の文字の中に
組ある連続する2文字が、どれもABの順番に並んでいない確率を
とし、どれもAAの順番に並んでいない確率を
とする。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を求めよ。 (3) 
となるようなpの値、および、そのときの
，
を求めよ。ただし、
となることを用いてもよい。
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解答 
の3項間漸化式が美しくないので、極限をとるあたりで不安になりますが、腕尽くで強行突破することにします。
(1) n個の文字の中に
組ある連続する2文字が、どれもABの順番に並んでいないとき、n個の文字の並びの中にAが出てくるとその次もAでなければならないので、一度Aが出てくるとその後は全部Aになります。このようになるのは、以下の場合です。 n個の文字の並びすべてAとなる場合、その確率は
1番目がBで2番目以降すべてAとなる場合、その確率は
1番目と2番目がBで3番目以降すべてAとなる場合、その確率は
・・・・・・n個の文字の並びすべてBとなる場合、その確率は
以上の場合はすべて互いに排反で、求める確率
は、以上の各場合の確率の和となり、 
のときは、
のときは、
(2) 
の状況も考えると、1個の文字の並びの中にAAの順の並びは現れないので、
です。 
のとき、2個の文字の並びの中にAAの順が現れる確率は
で、現れない確率は、
です。以下、
とします。n個の文字の中に
組ある連続する2文字が、どれもAAの順番に並んでいないとき(こうなる確率は
です)、 ・1番目がA (こうなる確率はpです)のときは、Aが続かないので、2番目は必ずBです(こうなる確率は
です)。3番目はAでもBでも良いのですが、3番目以降の
個の文字の中に
組ある連続する2文字は、どれもAAの順番に並んでいません(こうなる確率は
です)。 ・1番目がB (こうなる確率は
です)のときは、2番目はAでもBでも良いのですが、2番目以上の
個の文字の中に
組ある連続する2文字は、どれもAAの順番に並んでいません(こうなる確率は
です)。 以上より、
この2次方程式の判別式について、
(
)より、2次方程式②は相異なる2実数解をもちます。②の左辺を
とおくと、 これより、2次方程式②の2解α，β について、
･･･③
･･･④③－④より、
のときの極限を求めたいのですが、
なので、
でくくります。
......[答]
のとき、
より、
(3) ・
のとき、②は、
・
のとき、 とすると、
より不適。・
のとき、 とすると、
より、
以上より、
......[答]このとき、 
......[答]
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のとき
，
のとき
......[答]
，
は、初項
，公比αの等比数列。
についても、
のとき、
のとき、
より、
(∵ 
)
(∵ 
)
(∵ 
)
......[答]
，
･･･②
の軸の位置：
，公比
とすると、