名大理系数学'12年[2]
として、正の整数nに対して、
により実数xの関数
を定める。
(1) 
を求めよ。 (2) 
とするとき、定積分
を求めよ。ただし、実数a，b，cは定数とする。 (3) 正の整数nに対して、
を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 面倒な積分計算を強いられそうなのですが、工夫すれば、それほどでもなくなる、という問題です。
(1) 
･･･①∴ 
......[答]
(2) 
(∵ ②)
......[答]別解．
より、
は奇関数です。 よって、
(3) 問題文の漸化式を用いて最初の方を計算してみます。 ∴ 
は、
で、
，
としたものです。
は、
で、
，
としたものです。
これで、
は1次関数と
との積で表され、1次関数の定数項と1次の係数はnに依存して変化する、つまり、
と予測できます。 
のとき、予測が成り立つとして、
となります。(2)より、第1項の積分はゼロです。
∴ 
これより、
，
とすれば、 よって、予測は
のときも成り立ちます。 
で両辺を割って、数列
は、初項
，公差
の等差数列で、
∴ 
③より、
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
(∵ ①)
･･･②
(∵ ①，また、
とおいて置換積分)
(∵ ②)
のとき、
より、
，
として、予測は成り立ちます。
とおいて
･･･③
より、数列
は、初項
，公比
より、