阪大理系数学'22年前期[4]
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 方程式は、の範囲でただ1つの解をもつことを示せ。
(2) (1)の解をαとする。実数xがを満たすならば、次の不等式が成り立つことを示せ。
(3) 数列を
， ()
で定める。このとき、すべての自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
(4) (3)の数列について、を示せ。
解答　必ずしも平均値の定理を持ち出さなくてもよいのですが、平均値の定理を利用して答案をスッキリ書くことができる定番の極限値の問題です。

(1) ()とおくと、
よって、は単調減少で、
(∵ )
(∵ より)
よって、方程式，つまりは、の範囲にただ1つの解を持ちます。

(2) (1)の解をαとする()とであり、は平均値の定理の要件を満たすので、平均値の定理より、
　()　･･･①
を満たす実数cが存在します。よりですが、より，
①とより、

(3) nを自然数として、だとすれば、より、(2)の不等式のxをとして、
　･･･②
が言えます。
ここで、②から示すべき不等式の形を作るためには、まず、つまりとしたいわけです。そこで、 ()を数学的帰納法で示します。
のとき、より成り立ちます。
のとき、と仮定すると、より、のときも成り立ちます。
よって、数学的帰納法より、 ()が成り立ちます。
これより、，　･･･③　となります。
また、②が言えるためには、も示す必要があります。そこで、を数学的帰納法で示します。
のとき、より成り立ちます。
のとき、と仮定すると、であって、(2)の不等式のxをとして、
より、となり、のときも成り立ちます。
よって、数学的帰納法より、 ()が成り立ちます。
以上より、となるので、②が言えて、③より、すべての自然数nについて、　･･･④　が成り立ちます。

(4) ④を、として繰り返し使うと、
，，･･･，
即ち、
ここで、とすると、，はさみうちの原理より、
∴


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