阪大理系数学
'22
年前期
[4]
とする。以下の問いに答えよ。
(1)
方程式
は、
の範囲でただ
1
つの解をもつことを示せ。
(2) (1)
の解を
α
とする。実数
x
が
を満たすならば、次の不等式が成り立つことを示せ。
(3)
数列
を
,
(
)
で定める。このとき、すべての自然数
n
に対して、
が成り立つことを示せ。
(4) (3)
の数列
について、
を示せ。
解答
必ずしも平均値の定理を持ち出さなくてもよいのですが、平均値の定理を利用して答案をスッキリ書くことができる定番の極限値の問題です。
(1)
(
)
とおくと、
よって、
は単調減少で、
(
∵
)
(
∵
より
)
よって、方程式
,つまり
は、
の範囲にただ
1
つの解を持ちます。
(2) (1)
の解を
α
とする
(
)
と
であり、
は平均値の定理の要件を満たすので、平均値の定理より、
(
)
・・・@
を満たす実数
c
が存在します。
より
ですが、
より
,
@と
より、
(3)
n
を自然数として、
だとすれば、
より、
(2)
の不等式の
x
を
として、
・・・A
が言えます。
ここで、Aから示すべき不等式の形を作るためには、まず、
つまり
としたいわけです。そこで、
(
)
を数学的帰納法で示します。
のとき、
より成り立ちます。
のとき、
と仮定すると、
より、
のときも成り立ちます。
よって、数学的帰納法より、
(
)
が成り立ちます。
これより、
,
・・・B となります。
また、Aが言えるためには、
も示す必要があります。そこで、
を数学的帰納法で示します。
のとき、
より成り立ちます。
のとき、
と仮定すると、
であって、
(2)
の不等式の
x
を
として、
より、
となり、
のときも成り立ちます。
よって、数学的帰納法より、
(
)
が成り立ちます。
以上より、
となるので、Aが言えて、Bより、すべての自然数
n
について、
・・・C が成り立ちます。
(4)
Cを、
として繰り返し使うと、
,
,・・・,
即ち、
ここで、
とすると、
,はさみうちの原理より、
∴
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