阪大理系数学'22年前期[5]
座標平面において、t を媒介変数として
，　()
で表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答　媒介変数表示された関数のグラフの面積を計算する問題です。

　･･･①
とすると、，においては
　･･･②
とすると、，においては
のとき、，
のとき、(とおきます)，(とおきます)
のとき、(とおきます)，(とおきます)
のとき、，
増減表は、以下のようになります。
t0　　　π
＋＋0－－－－
x0
＋＋＋＋0－－
y00

増減表より、曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積Sは、曲線Cのの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積から、曲線Cのの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を引いたものです。
とおくと、①より
においては、x：のときt：
においては、x：のときt：


第1項の積分は、
第2項の積分は、より、

∴ ......[答]


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