阪大理系数学'22年前期[5]

阪大理系数学'22年前期[5]

座標平面において、t を媒介変数として

，

　(

)

で表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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解答　媒介変数表示された関数のグラフの面積を計算する問題です。なお、定積分と面積(2)を参照してください。

　･･･①　(微分の公式、積の微分法を参照)

とすると、

，

においては

　･･･②

とすると、

，

においては

のとき、

，

のとき、

(

とおきます)，

(

とおきます)

のとき、

(

とおきます)，

(

とおきます)

のとき、

，

増減表は、以下のようになります。

t	0						π
	＋	＋	0	－	－	－	－
x							0
	＋	＋	＋	＋	0	－	－
y	0						0

増減表より、曲線C (グラフは右図、種々の関数のグラフ(7)を参照)とx軸で囲まれた部分の面積Sは、曲線Cの

の部分とx軸の間に挟まれた部分の面積から、曲線Cの

の部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を引いたものです。

とおくと、①より

においては、x：

のときt：

においては、x：

のときt：

　(2倍角の公式、半角の公式を参照)

第1項の積分は(不定積分の公式を参照)、

第2項の積分は(部分積分法を参照)、

より、

∴

......[答]

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