阪大理系数学'22年前期[5]
座標平面において、t を媒介変数として
で表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
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解答 媒介変数表示された関数のグラフの面積を計算する問題です。なお、定積分と面積(2)を参照してください。
とすると、
，
においては
･･･②
とすると、
，
においては
のとき、
，
のとき、
(
とおきます)，
(
とおきます)
のとき、
(
とおきます)，
(
とおきます)
のとき、
，
増減表は、以下のようになります。
増減表より、曲線C (グラフは右図、種々の関数のグラフ(7)を参照)とx軸で囲まれた部分の面積Sは、曲線Cの
の部分とx軸の間に挟まれた部分の面積から、曲線Cの
の部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を引いたものです。
とおくと、①より
においては、x：
のときt：
においては、x：
のときt：
第1項の積分は(不定積分の公式を参照)、
第2項の積分は(部分積分法を参照)、
より、
∴ 
......[答]
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