阪大理系数学'23年前期[4]
a，bをかつをみたす実数の定数とする。座標空間の点Aと点Pをとる。点Oを通り直線APと垂直な平面をαとし、平面αと直線APとの交点をQとする。
(1) が成り立つことを示せ。
(2) をみたすように点Pがxy平面上を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
解答　円錐面を平面で切ると2次曲線になる、という問題です。座標設定して正直に内積計算をやっていくと手に負えなくなります。(2)のを利用するためにの形を残し要領よく計算しましょう。

(1) 点Qは、直線AP上の点なので、kを実数として、とおけます。

よって、です。

(2) (1)の結果をA，Pの座標を使って表すとどうなるかを考えます。より、　∴ 　･･･①
また、より、　∴ 　･･･②
，，　･･･③

　(∵ ①)
　(∵ ③)　･･･④
　･･･⑤
　(∵ ②)
(1)の結果より、④、⑤を用いて、
③を用いて、

∴
点Pの軌跡は、
・のとき、であって、放物線
・かつのとき、， (問題文)より、双曲線
・のとき、，より、楕円　......[答]
注．本問の状況を模式的に(正確ではありません)図示すると、右図のようになります。なのでQは原点Oを中心とする半径1の球面(赤線)上の点です。Qを通る直線APはこの球面の半径OQと垂直なので、APは球の接線であり、Pが動くとAPの全体は円錐面を作ります。
Pはこの円錐面上の点であって、xy平面()上の点なので、(2)の答は、円錐面をxy平面で切ったときの切り口にできる曲線であって、2次曲線になります。
この曲線が、Aのz座標bによってどのようになるか、というのが本問です。
右図のように、のときには楕円、のときには放物線、のときには双曲線になります。



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　　数学TOP　　TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。
©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。