阪大理系数学'23年前期[4]
a，bを
かつ
をみたす実数の定数とする。座標空間の点A
と点P
をとる。点O
を通り直線APと垂直な平面をαとし、平面αと直線APとの交点をQとする。
(1) 
が成り立つことを示せ。 (2) 
をみたすように点P
がxy平面上を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。
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解答 円錐面を平面で切ると2次曲線になる、という問題です。座標設定して正直に内積計算をやっていくと手に負えなくなります。(2)の
を利用するために
の形を残し要領よく計算しましょう。
(1) 点Qは、直線AP上の点なので、kを実数として、
とおけます。 よって、
です。
(2) (1)の結果をA，Pの座標を使って表すとどうなるかを考えます。
より、
∴ 
･･･① 
･･･⑤
(∵ ②)
(1)の結果
より、④、⑤を用いて、 ③を用いて、
∴ 
注．本問の状況を模式的に(正確ではありません)図示すると、右図のようになります。
なのでQは原点Oを中心とする半径1の球面(赤線)上の点です。Qを通る直線APはこの球面の半径OQと垂直なので、APは球の接線であり、Pが動くとAPの全体は円錐面を作ります。Pはこの円錐面上の点であって、xy平面(
)上の点なので、(2)の答は、円錐面をxy平面で切ったときの切り口にできる曲線であって、2次曲線になります。
この曲線が、Aのz座標bによってどのようになるか、というのが本問です。
右図のように、
のときには楕円、
のときには放物線、
のときには双曲線になります。
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より、
∴ 
･･･②
，
，
･･･③
(∵ ①)
(∵ ③) ･･･④
のとき、
であって、
かつ
のとき、
，
のとき、
，
より、