阪大理系数学'26年前期[3]
aを実数とし、複素数zに対して
とする。ただし、iは虚数単位、
はzと共役な複素数である。
(1) 
は実数であることを示せ。 (2) 実数aに対して、
かつ となるような複素数zの個数を
とする。
を求めよ。
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解答 複素数の問題のように見えて、やってみると、図形と方程式の円と直線の位置関係の問題です。
(1) 
(x，yは実数)とおくと、
より、
はβの実部を与えます。
と見ると、
です(共役複素数を参照)。このとき、 は、
の実部であり、
は実数です。
(2) 
，
より、 となるので、与式より、
よって、
または
･･･①です。
ここで、
は、
の実部であり、
(x，yは実数)とおくと、 であって、
，
は実数なので、
の実部は、
であり、
です。 
･･･②です。②はxy平面上で直線を表します。
は原点を中心とする半径1の 円 Cを表すので、
かつ与式即ち②、を満たす
は、円Cと②の交点です。円Cの中心
と直線②との距離は、 
･･･③です。
のとき、③は
なので、半径1の円Cと直線②は2交点を持ちます(円と直線の位置関係を参照)。つまり、
のとき、
･･･④ ・
のとき、①より、
または
，ですが、
のときは②の直線
です。
のときは、 
･･･⑤となりますが、⑤は直線を表します。
のとき、直線②と直線⑤は平行ですが一致することはありません。
原点を中心とする半径1の円C：
の中心
と直線②との距離は③で、③< 1のとき円Cと直線②は2交点を持ち、③= 1のとき円Cと直線②は接点1個を持ち、③> 1のとき円Cと直線②は交点を持ちません。
③< 1のとき、
より、
，
です。
③= 1のとき、
より、
です。
③> 1のとき、
より、
です。
と合わせて、
，
，
のとき、円Cと直線②は共有点2個を持ち、
のとき、円Cと直線②は共有点1個を持ち、
のとき、円Cと直線②は共有点を持ちません。 ･･･⑥
円Cの中心
と直線⑤との距離は、 です。
より、
であって、円Cと直線⑤は、aの値に関わらず2交点を持ち、共有点を2個持ちます。 ･･･⑦ 
のとき、⑥，⑦より、
，
，
のとき、
のとき、
のとき、
･･･⑧
④，⑧より、
，
，
のとき、
，
のとき、
，
または
のとき、
......[答]
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のとき、
と
は一致します。
のとき、