慶大理工数学'06年[B1]
整数p，q，r，α，β に対し、次のようなx，yについての連立1次方程式を考える。
以下では、
とする。
(1) 解x，yをp，q，r，α，β を用いて表しなさい。解答欄には答だけを書きなさい。
(2) 整数p，q，rに関する条件
は、任意の整数α，β に対し解x，yが整数であるための必要十分条件であることを証明しなさい。 (3) 
のとき、
に対する解のxの値が2となるような整数の組
をすべて求めなさい。
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解答 整数と行列の融合問題です。
･･･①
より、
が存在して(逆行列を参照)、①の両辺に左からかける(行列の積を参照)と、
(2) (1)の結果より、整数p，q，rが
，つまり、
を満たすとき、任意の整数α，β に対し、解x，y，即ち、 
，
または、
，
はいずれも整数になります。
逆に、任意の整数α，β に対し解x，yが整数であるとき、(1)の結果より、
･･･②
･･･③②より、p，rの最大公約数をd，また、
，
を整数として、
，
とおくと(このとき、
はdの倍数)、 
であれば、
は整数になりますが、
(または
)であってもよいことになります。
である必要はありません。
しかし、③では、α，β が任意の整数をとるとき、
は任意の整数をとり得ます。
任意の整数をとりうるということは、
となることもあり得るということです(例えば、
，
のとき)。
このとき、
を満たすyが整数となるためには、
このとき、
も整数です。
従って、任意の整数α，β に対し解x，yが整数であるとき、
以上より、整数p，q，rに関する条件
は、任意の整数α，β に対し解x，yが整数であるための必要十分条件です。
(3) 
のとき、 
，
・
のとき、 ⑤－④×qより、
④より、
∴ 
p，qは整数だから、
または 
，
前者のとき、
，
，後者のとき、
，
・
のとき、 ④×q－⑤より、
④より、
∴ 
p，qは整数だから、
，
または 
，
前者のとき、
，
，後者のとき、
，
∴ 
......[答]
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