慶大理工数学'08年[A1]

慶大理工数学'08年[A1]

(1)

とする。xy平面上で

，

により定められる部分Aの面積は　ア　である。また空間内でx軸のまわりにAを1回転させてできる回転体の体積は　イ　である。この体積はa＝　ウ　のときに最大となる。

(2) t を実数とする。空間内の2点P

，Q

を通る直線とxy平面との交点はR (t，　エ　，0)である。t が

の範囲を動くときに点Rが描く曲線をCとする。xy平面上で、x軸，y軸とCとにより囲まれた部分の面積は　オ　である。

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解答素直な微積の計算問題です。(1)も(2)も曲線はx軸と交差しないので、積分区間を分けるというような心配もありません。

(1)(ア) 部分Aの境界線：

は、

と書き直せます。

なので、Aの面積は(定積分と面積を参照)、

　(不定積分の公式を参照)

......[答]

(イ) 回転体の体積Vは、

　(x軸のまわりの回転体を参照)

とおく(置換積分を参照)と、

，

より、

x：

のとき、u：

......[答]

(ウ)

とおくと、

　(3次関数の最大最小を参照)

a	0				1
		＋	0	－	0

増減表より、Vは、

......[答]　のときに最大です。

(2)(エ)

直線PQのベクトル方程式は(空間ベクトルを参照)、

とすると、

(

)

......[答]

(オ)

より、

のとき、

です。
求める面積Sは、

ここで、積分計算し易い分母の形にするために、

とおきます(置換積分を参照)。

，x：

のとき、u：

∴

......[答]

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