慶大理工数学'11年[A1]
(1) 
とする。定積分 の値は
である。 (2) kを実数とする。座標平面上で、点
を直線
に関して対称移動した点を
とすると が成り立つ。
(3) 負でない実数
，
，
で
を満たすものが与えられているとき、数列
，
，
を次のように定める。
，
，
に対して
，
，
を大きさの順に並べ、大きい順に
，
，
とする。たとえば
，
，
とするとき、
，
，
であり、
，
，
である。 次に、
で
，
，
はどれも0ではなく
が満たされているとする。このとき
である。
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解答 (2)はよくある問題ですが、(3)は少し面倒です。
(2)(i) 
のとき、直線
はx軸です。
をx軸に関して対称移動させると
に来ます(1次変換を参照)。よって、 
･･･①(ii) 
のとき、
です。 ∴ 
･･･②
，
を結ぶ直線は直線
と直交するので、傾きについて、 ∴ 
･･･③
②，③を行列を用いて書くと、 左から、
をかける(逆行列を参照)と、 この結果は①を含んでいます。(イ) 
(ウ) 
(エ) 
(オ) 
......[答]
，
，
を大きさの順に並べて、
，
，
(カ) 9 (キ) 3 ......[答]
，
，
(
)のとき、
とおくと、
，
，
，また、
です。
に注意して、以下の3通りに限られます。
，
を第3式に代入すると、
となってしまうため、この場合はあり得ません。
，
よって、(i)より、
，
，
であることから、
，
，
より、
，
，
，･･･， (ク) 
......[答]
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......[答]
，
の中点は直線
上の点です。
，
，
より、
，
，
を大きさの順に並べて、
，
，
，
，
，
，
のとき、
，
を第3式に代入すると、
より、
，
，
のとき、
，
，
のとき、第1式と第2式より、
より
，
