慶大理工数学'11年[A2]
kを実数として、xの4次関数
を
と定める。
(1)方程式
は、kの値によらず
を実数解としてもつ。また、この方程式の実数解が
のみとなるのは、
のときである。 (3) 方程式
が相異なる4つの実数解をもつようなkの値の範囲は、
である。kがこの範囲にあるとき、
の4つの解をa，b，c，d (
)とする。
と
をそれぞれkを用いて表すと、 
，
となる。また、
のとき、
である。
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解答 3次関数、4次関数、3次方程式、4次方程式に関する内容豊富な問題です。
(1) 
よって、方程式
は、kの値に寄らず
を解にもつ。(ケ) 
......[答]
⇔ 
または 
3次方程式：
が、
を解に持つために、 であることが必要で、
逆に、
のとき、
は、
を解にもつので、
の実数解は
のみになります。(コ) 0 ......[答]
(2) 
のとき、
とすると、
とすると、
より、
(複号同順)増減表より、
は、
において最小値
をとります(3次関数の最大最小を参照)。(サ) 
(シ) 
......[答]
(3) 方程式
が相異なる4つの実数解をもつとき、 より、
が
以外の相異なる3実数解をもちます。
より、
･･･① より、
は
の解になり得ないので、方程式
を考える代わりに、
で割って、 を考えます。
とおくと、 
より、以下の増減表が得られます(関数の増減を参照)。増減表と、
，
，
により、
，即ち、
が相異なる3実数解をもつのは
のときで、①より、
は相異なる4つの実数解をもちます。(ス) 9 ......[答]
より、
ですが、これと増減表より、
は、
，
，
の範囲に各々1解ずつもち、
の4つの解a，b，c，d (
)について、
，
(セ) 1 (ソ) 
......[答]
より、
のグラフは漸近線
をもつので、
の
となる解cは、
のとき、
となります。従って、
のとき、 (タ) 
......[答]
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のとき、
は
で最小値
をとる。
を
で割ると、商が
，余りは
の