慶大理工数学'11年[A3]
実数θ は
の範囲を動くとする。空間内の動点P
と点Q
を通る直線が、xy平面と交わる点をR
とする。x，yをθ の関数として表すと、
，
と
をx，yを用いて表すと、
，
とすれば、
となる。
次に、xy平面内の領域Dを
と定め、領域Dの面積を求めることを考える。直線
を原点O
を中心として、
回転した直線の方程式は
となる。また、曲線
を原点を中心として、
回転した曲線の方程式を
(
)とすれば、
となる。領域Dを原点を中心として、
回転した領域を
とすれば、領域Dと領域
は合同だから、
である。
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解答 有名曲線だし、穴埋め問題なので座標回転を持ち出すまでもないでしょう。
直線PQ上の点は、
xy平面上では、
として、
より
なので、
よって、
(チ) 
(ツ) 
......[答]
(テ) 
(ト) 
......[答]
∴ 
･･･② (双曲線を参照)
と①より、
よって、
②より、
となりますが、複号は、－をとると、
より、
となってしまうので、＋をとることになります。よって、
(
)
(ナ) 
......[答]
直線
と原点との距離は
です。直線
を原点Oを中心として
回転したとき傾き
の直線になりますが、原点との距離はやはり
です。傾き
の直線を
(
)として、原点との距離は、
よって、回転後の直線の方程式は、
･･･③
(ニ) 
......[答]
②は
と
を漸近線とする直角双曲線です。②の
の部分を
回転すると第1象限に来ますが、漸近線はx軸とy軸になり、直角双曲線は
(p：定数)となります。
②はy軸と
で交わりますが、この点を
回転すると
に来ます。直角双曲線
が
を通るので、
回転後の直角双曲線は
，
(第1象限にあるので
) ･･･④
(ヌ) 
......[答]
③，④を連立すると、
∴ 
の面積Sは、
(ネ) 
......[答]
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