慶大理工数学'12年[5]
とし、xの3次関数
を
と定める。また、
に対し、曲線
とx軸および2直線
，
で囲まれた部分の面積を
で表す。
(1) 
ト である。 (2) 
は
ナ で極小値をとる。曲線
上にあり、xの値 ナ に対応する点をPとする。aの値が変化するとき、点Pの軌跡は曲線
ニ (
)である。 (3) 
を満たす正の実数t が存在するようなaの値の範囲を不等式で表すと ヌ となる。以下、aの値はこの範囲にあるとする。cを
を満たす最大の正の実数とする。区間
における
の最大値、最小値をそれぞれ
，
とするとき、
ネ となる。
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解答 3次関数
に対して、
は2次関数となります(微分を参照)。
のグラフの軸の位置を
として、
は
に関して対称なので、
として、
が成り立ちます。これを使うと、
となるので、
より、
∴ 
が成り立ちます。これは、
3次関数のグラフが変曲点
について対称であること ･･･(＊)
を意味します。以下(3)の解答では、これを応用してみます。
(1)(ト) 
......[答]
(2)(ナ) 
･･･②
･･･③増減表より、
は、
......[答] において、極小値をとります(3次関数の増減を参照)。 (ニ) 点Pのx座標、y座標は、
，
これよりaを消去して、
......[答] (
)
(3)(ヌ) 
より、 とおくと、
が2実数解をもち、このために、 判別式：
∴ 
･･･④
が必要です。このとき、放物線
の軸
(
) 
......[答](ネ) ④のとき、
は重解も含めて正の解を2個もち、そのうちの大きい方がcです。①より、 2次方程式
の判別式
について、 ④が成立するとき、
なので、2次方程式
は、
の範囲に相異なる2実数解α，β (
)をもちます。
において
，
において
，
において
より、
において
極大、
において
極小です。
また、2次方程式
における解と係数の関係より、 
･･･⑤ここで、もし、
であれば、
となる正の実数t が存在しなくなるので、
です。つまり、
なので
です(3次関数
のグラフを描いて考えてください)。また、
における
の最小値
は
です。
においては
は増加なので、
であって、
なので、
における
の最大値
は
です。以上より、 となります。
は3次関数なので、上記(＊)のように、
のグラフはその変曲点に関して対称です。
より、
とすると、
，従って、 
･･･⑥
において、
(
)とおくと、⑤を用いて、
のとき
，
のとき
より、∴ 
(= 一定)また、⑥において、
とすることにより、②，③を用いて、 
......[答]
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･･･①
とすると、
，
を満たす正の実数t が存在するので、
，
，
(∵ ⑥において、
とします)
は正の解をもち、確かに
を満たす正の実数