慶大理工数学'20年[1]
(1) iを虚数単位とする。複素数平面上で
は、
かつ
を満たしながら動くとする。ただし、xとyは実数である。このとき、点zのえがく図形をCとする。また、C上に2点
，
をとったとき、線分
の中点をMとする。
(i) 
とする。点
がC上を動くとき、Mのえがく曲線と実軸で囲まれた部分の面積は
である。
(ii) 2点
，
が
を満たしながらC上を動くとき、Mがえがく曲線の長さは
である。ただし、
は
と共役な複素数である。
(2) 次の2つの放物線
を考える。
上の点P
から
に2本の接線を引く。これら2本の接線と
の接点をA，Bとする。ただし、点Aのx座標は点Bのx座標より小さいとする。このとき、点Aのx座標は、tを用いて表すと
となる。
次に、線分PAを1：2に内分する点をQ，線分QBを2：3に内分する点をRとする。このとき、
である。点Pが
上を動くとき、点R
の軌跡の方程式は
である。
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解答 まずはウォーミング・アップから、という標準的計算問題です。答のみなので、(ア)(イ)は暗算でOKでしょう。
かつ
，より、
かつ
，つまり、
かつ
よって、複素数平面上で、Mは
を中心とする半径
の円のx軸から上の部分を描き、実軸とで囲んでできる図形は、半径
の半円で、その面積は、
......[答]
(ii) 
より、よって、
，また、
，
(
)
，
は
を満たしながら単位円の
の部分を動くので、Mを表す複素数の偏角をθとして、Mは、原点Oを中心とする半径
の円の
の部分(右図太線、円周の
)を描き、その長さは、
......[答]
接線はP
を通るので、 点Aのx座標は小さい方で、
......[答]点Bのx座標は
，Aの座標は
，Bの座標は
， Qは線分PAを1：2に内分する点、Rは線分QBを2：3に内分する点なので、 
......[答]
，
より、点Rの軌跡の方程式は、
......[答]
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：
，
：
，よって、
上の点
における
より、