慶大理工数学'24年[3]
連続関数はを満たし、で単調に減少するものとする。aを実数とし、Sを
と定める。
(1) と定める。Iとaを用いてSを表すと、のときとなり、のときとなる。 (2) aがを満たしているとき、の範囲で方程式は解をただ1つ持つことを証明しなさい。 (3) aはを満たしているとする。の範囲にある方程式の解をとおく。このとき、aを関数と実数t を用いて表すととなる。また、関数と、t に関する分数式を用いて、と表される。 (4) を(3)で定めた関数、をを満たす実数とする。を満たすすべての実数xに対しが成り立つことを証明しなさい。 (5) をでを満たす分数関数とし、をを満たす実数とする。かつならば、を満たすすべての実数xに対しが成り立つ。 (6) のときに、Sは最小になる。
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解答 問題文に「連続関数」としか書かれていないので証明は一苦労です。(サ)(シ)は、空所補充問題で答はすぐに分かります。証明を考える必要はありません。が出てくるので、連続関数は積分可能、という前提で考えましょう。
Sは、絶対値を外してから積分計算するのですが、のグラフと、原点を通り傾きaの直線との位置関係によって場合分けが必要です。
まず、のグラフが、2点,を通り、直線が、2点,を通る ・・・(*) ことに注意します。
また、においてが連続かつ単調減少、またも連続かつ単調 ・・・(**) であることに注意します。
(1) のとき、であって、(*)と(**)より、において,です(絶対値を参照)。 ......[ク] ・・・@ ・・・A
・・・B とおくと、において、(**)よりは連続な減少関数です。 , よって中間値の定理より、方程式,即ちは、の範囲にただ1つの解をもちます。(証明終)
(3) のとき、の解をt とおく()と、より、 ......[ケ] ・・・C ・・・D とおくと、
, ・・・E です。
Bのは、において単調減少なのでの前後で符号を正から負へと変えます。よって、において,において
積分区間をとに分けることにより、 よって、 ......[コ]
(4) とに分けて考えます。以下で、図形Aが図形Bに含まれる、とは、Aに属するすべての点P ()がBに属する()、即ちであることを意味します。 ・のとき、は、のグラフのの部分とs軸、直線,直線で囲まれた図形(右上図薄黄色着色部)の面積にマイナスをつけたものです。 は、横縦の長方形(黒色枠)の面積にマイナスをつけたものです。
においてはsの連続な減少関数なので、であり、図形は長方形に含まれます。よって、 ∴ ・のとき、は、のグラフのの部分とs軸、直線,直線で囲まれた図形(右下図薄黄色着色部)の面積で、は、横縦の長方形(黒色枠)の面積です。 においてはsの連続な減少関数なので、であり、長方形は図形に含まれます。よって、 よって、において、です。(証明終)
(5) とおくと、となるようなの値を求めればよいわけです。 となるので、
とおくと、
です。 ・・・G なので、であるためには、が言えればよいわけです。
,より、は単調増加です。
なので、より、
と言えれば、となります。
そのためには、がで極小になればよいのですが、は単調増加なので、であれば、において,においてとなるので、がにおいて極小になります。このためには、 ∴ ......[サ] ・・・H 逆にのとき、であって、が単調増加であることから、では,においては
はで減少、で増加です。
よって、はにおいて最小値をとり、においてです。
よって、なのでGのは、です。つまり、が成り立ちます。ここで等号が成り立つのは、のときです。
(6) (1)@,Aより、のとき,のときです。Eよりは定数です。 ・のとき(のときを含む)、はaの減少関数で、のときに、 最小値: ・・・I をとります。
最小値: ・・・J をとります。
・・・F となりますが、特に、のとき、方程式の解はで、
Fでとすると、 ,より、となり、のときの最小値Jに一致します。
のとき、方程式の解はで、Fでとすると、 となり、のときの最小値Iに一致します。
そこで、の範囲でFのSの最小値を考えます(これですべての実数aに対してSの最小値を考えることになります)。このとき、の解t は、です。(4)より、を満たすxに対して、 Fのにこれを用いて、 この右辺のうち、とおくと、(5)で、とみて、(5)より、となるのは、,のとき(Hより)で、よりで、このとき確かにとなります。のとき、S最小となりますが、Cにおいてとすることにより、Sを最小とするaは、 ......[シ]こうして、 (等号はのとき成立)
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