慶大理工数学'24年[3]
連続関数
は
を満たし、
で単調に減少するものとする。aを実数とし、Sを
と定める。
(1) 
と定める。Iとaを用いてSを表すと、
のとき
となり、
のとき
となる。 (2) aが
を満たしているとき、
の範囲で方程式
は解をただ1つ持つことを証明しなさい。 (3) aは
を満たしているとする。
の範囲にある方程式
の解を
とおく。このとき、aを関数
と実数t を用いて表すと
となる。また、関数
と、t に関する分数式
を用いて、
と表される。 (4) 
を(3)で定めた関数、
を
を満たす実数とする。
を満たすすべての実数xに対し
が成り立つことを証明しなさい。 (5) 
を
で
を満たす分数関数とし、
を
を満たす実数とする。
かつ
ならば、
を満たすすべての実数xに対し
が成り立つ。 (6) 
のときに、Sは最小になる。
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解答 問題文に「連続関数
」としか書かれていないので証明は一苦労です。(サ)(シ)は、空所補充問題で答はすぐに分かります。証明を考える必要はありません。
が出てくるので、連続関数は積分可能、という前提で考えましょう。
Sは、絶対値を外してから積分計算するのですが、
のグラフと、原点を通り傾きaの直線
との位置関係によって場合分けが必要です。
まず、
のグラフが、2点
，
を通り、直線
が、2点
，
を通る ･･･(＊) ことに注意します。
また、
において
が連続かつ単調減少、また
も連続かつ単調 ･･･(＊＊) であることに注意します。
(1) 
のとき、
であって、(＊)と(＊＊)より、
において
，
です(絶対値を参照)。 
......[ク] ･･･①
･･･②
･･･③とおくと、
において、(＊＊)より
は連続な減少関数です。 
，
よって中間値の定理より、方程式
，即ち
は、
の範囲にただ1つの解をもちます。(証明終)
(3) 
のとき、
の解をt とおく(
)と、
より、
......[ケ] ･･･④ 
･･･⑤とおくと、
，
･･･⑥です。
③の
は、
において単調減少なので
の前後で符号を正から負へと変えます。よって、
において
，
において
積分区間を
と
に分けることにより、 よって、
......[コ]
(4) 
と
に分けて考えます。以下で、図形Aが図形Bに含まれる、とは、Aに属するすべての点P (
)がBに属する(
)、即ち
であることを意味します。 ・
のとき、
は、
のグラフの
の部分とs軸、直線
，直線
で囲まれた図形
の面積
にマイナスをつけたものです。 
は、横
縦
の長方形
の面積
にマイナスをつけたものです。
において
はsの連続な減少関数なので、
であり、図形
は長方形
に含まれます。よって、∴ 
・
のとき、
は、
のグラフの
の部分とs軸、直線
，直線
で囲まれた図形
の面積で、
は、横
縦
の長方形
の面積です。 
において
はsの連続な減少関数なので、
であり、長方形
は図形
に含まれます。よって、よって、
において、
です。(証明終)
(5) 
とおくと、
となるような
の値を求めればよいわけです。 となるので、
とおくと、
です。 ･･･⑧
なので、
であるためには、
が言えればよいわけです。
，
より、
は単調増加です。
なので、
より、
が
で最小値
を持つと言えれば、
となります。
そのためには、
が
で極小になればよいのですが、
は単調増加なので、
であれば、
において
，
において
となるので、
が
において極小になります。
このためには、
∴ 
......[サ] ･･･⑨逆に
のとき、
であって、
が単調増加であることから、
では
，
においては
は
で減少、
で増加です。
よって、
は
において最小値
をとり、
において
です。
よって、
なので⑧の
は、
です。つまり、
が成り立ちます。ここで等号が成り立つのは、
のときです。
(6) (1)①，②より、
のとき
，
のとき
です。⑥より
は定数です。 最小値：
･･･⑩ をとります。
最小値：
･･･⑪ をとります。
･･･⑦となりますが、特に、
のとき、方程式
の解は
で、
⑦で
とすると、 
，
より、
となり、
のときの最小値⑪に一致します。
のとき、方程式
の解は
で、⑦で
とすると、となり、
のときの最小値⑩に一致します。
そこで、
の範囲で⑦のSの最小値を考えます(これですべての実数aに対してSの最小値を考えることになります)。このとき、
の解t は、
です。(4)より、
を満たすxに対して、 ⑦の
にこれを用いて、 この右辺のうち、
とおくと、(5)で、
とみて、
(5)より、
となるのは、
，
のとき(⑨より)で、
より
で、このとき確かに
となります。
のとき、S最小となりますが、④において
とすることにより、Sを最小とするaは、
......[シ]こうして、 
(等号は
のとき成立)
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のとき、(＊)と(＊＊)より、
において
，
です。
のとき、
なので
であって、
は単調増加です。
(∵ ⑤)
(∵ ④，⑥)
･･･⑦
のとき、
はaの減少関数で、
のときに、
のとき、
はaの増加関数で、
のときに、
のとき、方程式
の解をt (
)として、⑦より、
