京大理系数学'20年前期[2]
pを正の整数とする。α，βはxに関する方程式
の2つの解で、
であるとする。
(1) すべての正の整数nに対し、
は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。 (2) 極限
を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 東大理系2003年[4]の類題です。(1)は、3項間漸化式の一般項が特性方程式の解s，tを用いて、
の形(
は定数)に表せること及び数学的帰納法を用いる定型パターンの問題と言ってもよいので、解答の流れを記憶してしまうくらいでよいでしょう。(2)は
なので
となり、問題のままでは考えにくいのですが、
の2解α，βについて、2次方程式の解と係数の関係より
，
となるので、
を利用することになります。
さて、2次方程式の解と係数の関係より、
，
･･･①
とします。
(1) (Ⅰ) 
のとき、pが正の整数であることから、
は、整数であり偶数です。よって、成立します。 (Ⅱ) 
のとき、①を用いて、 
は整数なので、
は整数であり偶数です。よって、成立します。(Ⅲ) 
のとき、
のとき、成立すると仮定します。つまり、
，
が整数であり偶数だと仮定します。 問題文の2次方程式の
の代わりに
，xの代わりに
，定数項を定数項に
をかけたものを代入した式を考えます。 よって、
もまた、整数であり偶数です。よって、
のときも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)より、数学的帰納法によって、すべての正の整数nに対し、
は整数であり偶数です。 (証明終)
(2) 
を利用するために、
を
を使って表すことを考えます。
より、
(1)より
は偶数なので、
，
，よって、
ここで、
(
)の形(極限の公式を参照)が出てくるように変形します。 
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
京大理系数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
(∵ α，βは2次方程式
の解)
，
より、
，よって、
のとき、
，
