東大理系数学'03年前期[4]
2次方程式
の2つの実数解のうち大きいものをα，小さいものをβ とする。
に対し、
とおく。(2) 
以下の最大の整数を求めよ。 (3) 
以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。
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解答 整数と3項間漸化式の融合問題です。
......[答]
......[答]
......[答]
，
，
の3項の間の関係式を求めるのですが、3項間漸化式：
･･･② を満たす数列の一般項を求めるときに出てくる「特性方程式」と呼ばれる2次方程式：
を解くことを思い出します。この2次方程式の解をα，β とすると、②を、
(公比βの等比数列)，または、
(公比αの等比数列)と変形することができて、最終的に、一般項
を、
･･･③ の形に表すことができます。
ということは、一般項が
の形に表せていて、α，β が2次方程式：
の解なら、数列
が従う3項間漸化式は、
のはずです。ここでは、
，
，
の関係を問われているので、
となることを調べてみます。
α，β は、2次方程式：
の解ですから、
です。
従って、
......[答]
(2) 
を解くと、
よって、
∴ 
以下の最大の整数は、
......[答]
(3) (1)で得られた3項間漸化式を用いると、
，
となるので、数列
の1の位は、4，8，6，2，4，8，6，2，4，...... という具合に4項ずつ循環してゆくことが予測できます。
これを数学的帰納法で証明することにします。
まず、準備をしておきます。4項ずれた項の間の関係を調べればよいので、
と
の間の関係を調べます。(1)で得られた漸化式を繰り返して使うことにより、 よって、
の1の位の数字は、
の1の位の数字に一致します。･･･(＊)命題：0以上の整数mについて、
，
，
，
の1の位の数字が、各々、4，8，6，2であることを数学的帰納法を用いて証明します。(Ⅰ) 
のとき、
，
，
，
の1の位の数字は、4，8，6，2なので、命題は成り立ちます。(Ⅱ) 
のとき、命題が成り立つとして、
，
，
，
の1の位の数字が、各々、4，8，6，2だと仮定します。(＊)により、
の1の位の数字は、
の1の位の数字に一致します。
，
の10の位の数字は1の位には寄与しないので、1の位の数字8，4だけ見てゆけばよいのです。
の1の位の数字は、
の1の位の4になります。･･･③
同様にして、
，
の1の位の数字6，8から、
の1の位の数字は、
の1の位の8になります。
，
の1の位の数字2，6から、
の1の位の数字は、
の1の位の6になります。
，
の1の位の数字4，2から、
の1の位の数字は、③より、
の1の位の2になります。
よって、
においても、命題が成立します。(Ⅰ)，(Ⅱ)より、命題が証明されました。
ところで、
より、
です。
ですが、上記の命題より、
の1の位の数字は、
より、6です。
の1の位のの数字は、
より、
と同じく、6 ......[答]
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，
，
を求めよ。また、
に対し、
を
と
で表せ。
，