東工大数学'02年前期[1]
実数aに対し、積分
を考える。
の最小値を求めよ。
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解答 絶対値記号を含む関数の積分では、絶対値記号の内側が0以上か、0以下かで、積分区間を分けて計算する必要があります。なお、三角関数を参照してください。
絶対値記号の内側について、
としてみると、
においては、
なので、
でくくって、
⇔ 
において、
は単調増加で、
です。
従って、aが
を満たす実数の場合には、
の範囲内に
となるxが存在します(中間値の定理を参照)。
このxをθ とします。
となります。
(i) 
のとき ・
においては、
つまり、
∴ 
・
においては、
つまり、
∴ 
とすると、
分母を払い、2乗すると、
∴ 
(
)増減表は(関数の増減を参照)、
よって、
これはaに関して単調増加なので、
よって、
これはaに関して単調減少なので、
(i), (ii), (iii)より、
の最小値は、
......[答]
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，
より、
(
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より、
(
)
，
のときには、
においては
より、
のときには、
においては
より、
と
とで分けて、
