東工大数学'04年前期[2]
次の問いに答えよ。
(1) 
，
を連続な偶関数、mを正の整数とするとき、 を証明せよ。
(2) 正の整数m，nが
を満たしているとき、 
を証明せよ。(3) 極限値
を求めよ。
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解答 (1)は積分区間を分けることにより、あっさりと解決します。(2)は、被積分関数の形をよく見て、(1)を利用することを考えます。(3)は、はさみうちの原理を使う東工大で頻出タイプの問題です。なお、三角関数、三角関数のグラフ、偶感数・奇関数の積分を参照してください。
(1) 
，
は周期
の周期関数(三角関数のグラフを参照)で、
と
とにおいては、関数の値は正負が異なるだけです。 式で書くと、
のとき、
であって、
，
の範囲の積分は、
，
，･･･，
と範囲を分けて積分します。 kを
を満たす整数として、
とおくと、 ここで、置換積分を行って、積分
の
という積分範囲を
にすることを考えます。
とおくと、
，x：
のとき、?：
kが偶数のとき、
は奇数であって、
，
kが奇数のとき、
は偶数であって、
，
は偶関数だから、任意の実数xに対して、
が成り立ちます。
従って、
，
が成り立ちます。
よって、kが偶数か奇数かにかかわらず、 
，
が成り立ちます。
∴ 
つまり、
∴ 
(証明終)
(2) まず、証明すべき不等式において、不等式の不等号に挟まれた部分の積分の形を左辺、右辺の積分と同じような形にすることを考えます。
において、
とおくと、
，x：
のときt：
∴ 
(置換積分参照)
，
より、各辺をnで割り、
とおくと、 
･･･①さらに、①の左辺は、
より、
①の右辺は、
より、
∴ 
･･･②
，
とします。この
，
は、
，
を満たすので、それぞれ偶関数です。
従って、(1)を利用して、 右辺に出てくる積分は、
においては、
だから、 
･･･③②より、
(証明終)
(置換積分参照、
は偶関数であることに注意)これを用いると、(2)の不等式より、
･･･④ここで、
より
，
とすると、はさみうちの原理より、
このとき、④において、左辺
，右辺
となるから、はさみうちの原理より、 
......[答]
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とおくと、
，x：
のとき、u：
とおくと、
，u：
のとき、?：
