東工大数学'09年後期[2]
,であるような点Pから双曲線へ引いた2本の接線の接点をA,Bとする。をtとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。
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解答 試験時間も考えると、凝らずに平凡に計算を進める方が良さそうです。
点A,Bのx座標をa,b ()とします。
, 双曲線のにおける接線は、
点Pを通るので、
分母を払ってaについて整理すると、
・・・@ これをaに関する2次方程式とみると、判別式Dは、
となるので、@は相異なる2実数解a,bをもちます。解と係数の関係より、
, ・・・A これより、です。A,Bの座標は,
, より、三角形OABの面積Sは、
ここで、2次方程式@の2解の差は、
これとAを用いて、
......[答] (です) において,においてより、Sは、のときに最小値 ......[答] (関数の増減を参照)
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