東工大数学'09年後期[2]

であるような点Pから双曲線へ引いた2本の接線の接点をABとする。tとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。


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解答 試験時間も考えると、凝らずに平凡に計算を進める方が良さそうです。

ABx座標をab ()とします。
双曲線における接線は、
Pを通るので、
分母を払ってaについて整理すると、
 ・・・@
これをaに関する2次方程式とみると、判別式Dは、
となるので、@は相異なる2実数解abをもちます。解と係数の関係より、
 ・・・A
これより、です。ABの座標は
より、三角形OAB面積Sは、



ここで、2次方程式@の2解の差は、
 (2次方程式の一般論を参照)
これとAを用いて、
......[] (です)
においてにおいてより、Sは、のときに最小値 ......[] (関数の増減を参照)


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