東工大数学'09年後期[2]
，であるような点Pから双曲線へ引いた2本の接線の接点をA，Bとする。をtとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。


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解答　試験時間も考えると、凝らずに平凡に計算を進める方が良さそうです。

点A，Bのx座標をa，b ()とします。
，
双曲線のにおける接線は、
点Pを通るので、
分母を払ってaについて整理すると、
　･･･①
これをaに関する2次方程式とみると、判別式Dは、
となるので、①は相異なる2実数解a，bをもちます。解と係数の関係より、
，　･･･②
これより、です。A，Bの座標は，
，
より、三角形OABの面積Sは、



ここで、2次方程式①の2解の差は、
　(2次方程式の一般論を参照)
これと②を用いて、
......[答]　(です)
において，においてより、Sは、のときに最小値 ......[答]　(関数の増減を参照)


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