東工大数学'24年前期[2]

実数全体を定義域にもつ微分可能な関数が次の6つの条件を満たしているとする。

このとき、
とおく。
(1) を求めよ。
(2) は定数関数であることを示せ。
(3) を求めよ。
(4) となる正の実数Tに対して、媒介変数表示された平面曲線 ()の長さを求めよ。


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解答 東工大としては目新しいテーマの問題ですが、平易な内容で、この問題は落とせません。

問題文より、

 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
 ・・・⑥
 ・・・⑦
 ・・・⑧

(1) ⑦を微分すると、①,②を用いて、
......[]
従っては定数関数で、⑦でとすると、⑤,⑥より、
つまり、 ・・・⑨

(2) ⑧を微分すると、

 ( ②,⑨)
よって、は定数関数です。

(3) (2)の結果を積分すると、
 (:定数)
⑧でとすると、⑥より、
 ∴
 
(対数関数を参照)
 ∴  ・・・⑩
......[] ・・・⑪
また、 ・・・⑫
②より、であり、
単調増加関数です。⑪,⑫より、であり、⑩で得られたは、④を満たします。

(4) 媒介変数表示された平面曲線は、⑨よりを満たし、原点を中心とする半径1 です。
のとき、⑤,⑥より、です。この点をPとします。
のとき、より、です。このとき③より、
上の点でを満たす点はであり、この点を
Qとします。⑩で得られたは、の範囲において連続な関数で、求める曲線の長さは、円弧の長さであり、半径1より、 ......[]



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