東工大数学'24年前期[2]
実数全体を定義域にもつ微分可能な関数
,
が次の6つの条件を満たしているとする。
このとき、
,
とおく。
(1)
を求めよ。 (2)
は定数関数であることを示せ。 (3)
を求めよ。 (4)
となる正の実数Tに対して、媒介変数表示された平面曲線
(
)の長さを求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 東工大としては目新しいテーマの問題ですが、平易な内容で、この問題は落とせません。
問題文より、
・・・@
・・・A
・・・B
・・・C
・・・D
・・・E
・・・F
・・・G
(1) Fを微分すると、@,Aを用いて、
......[答]従って
は定数関数で、Fで
とすると、D,Eより、 つまり、
・・・H

(∵ A,H)よって、
は定数関数です。
(
:定数)Gで
とすると、Eより、
∴
,
(対数関数を参照)
∴
・・・I
......[答] ・・・Jまた、
・・・K
Aより、
であり、
は単調増加関数です。J,Kより、
であり、Iで得られた
は、Cを満たします。
(4) 媒介変数表示された平面曲線
は、Hより
を満たし、原点を中心とする半径1の 円 です。
のとき、D,Eより、
です。この点をPとします。
のとき、
より、
です。このときBより、
円
上の点で
を満たす点は
であり、この点をQとします。Iで得られた
は、
の範囲において連続な関数で、求める曲線の長さは、円弧
の長さであり、半径1,
より、
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
東工大数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中!理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。