東工大数学'24年前期[3]
xy平面上に、点A
,B
,C
(ただし
)をとる。点A,Bを通る直線を
とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線をkとする。さらに、点Aを通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を
とし、点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点を
とする。以下、
に対して、点
を通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を
,点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点を
とする。
(1) 点
,
の座標を求めよ。 (2) △
の面積
を求めよ。 (3)
を求めよ。
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解答 試験会場でとても思いつけないような発想をすれば、もっとラクに解答することも可能なようですが、以下では素直に2項間漸化式の問題として解答します。計算が猛烈で時間不足になりかねませんが、簡単な解法を1時間追求するのであれば、その1時間で計算してしまった方がよいと思います。
点A,Bを通る直線
:
・・・①
直線BCの傾きは
,これと垂直な直線の傾きは
,
直線k:
・・・②
点Aを通りy軸に平行な直線:
と直線kとの交点
は、②で
として、
よって、
の座標は
・・・③
点
を通りx軸に平行な直線:
と直線
との交点
は、①で
として、
よって、
の座標は
・・・④
点
を通りy軸に平行な直線:
と直線kとの交点
は、②で
として、 よって、
の座標は
・・・⑥
点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点
は、①で
として、 ⑦で、
とおくと、 ⑦-⑨より、
よって、
,⑩より、 
・・・⑪⑧に代入して、
・・・⑫⑥より
の座標は
ですが、これは⑧より
なので、
の座標は
です。⑪,⑫より、
の座標は、
,
の座標は、
.....[答]
(2) △
の面積
は、△ABCの面積と△
の面積の和として、
で与えられます。 △ABC
より
なので、⑫を用いて、△
∴
......[答]
(3)
のx座標:(Bのy座標-
のy座標) = OA:OB = a:b より、
:(Bのy座標-
のy座標) =
:b ⑫を用いて、
より、ここで
とすると、
より
,
(等比数列の極限を参照)∴
......[答]
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