東工大数学'24年前期[3]

xy平面上に、点ABC (ただし)をとる。点ABを通る直線をとし、点Cを通り線分BCに垂直な直線をkとする。さらに、点Aを通りy軸に平行な直線と直線kとの交点をとし、点を通りx軸に平行な直線と直線との交点をとする。以下、に対して、点を通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を,点を通りx軸に平行な直線と直線との交点をとする。
(1) の座標を求めよ。
(2) の面積を求めよ。
(3) を求めよ。


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解答 試験会場でとても思いつけないような発想をすれば、もっとラクに解答することも可能なようですが、以下では素直に2項間漸化式の問題として解答します。計算が猛烈で時間不足になりかねませんが、簡単な解法を1時間追求するのであれば、その1時間で計算してしまった方がよいと思います。

ABを通る直線 ・・・①
直線
BCの傾きは,これと垂直な直線の傾き
直線
k ・・・②
Aを通りy軸に平行な直線:と直線kとの交点は、②でとして、
よって、の座標は ・・・③
を通り
x軸に平行な直線:と直線との交点は、①でとして、

よって、の座標は ・・・④

(1) の座標をとします。④より、 ・・・⑤
を通りy軸に平行な直線:と直線kとの交点は、②でとして、
よって、の座標は ・・・⑥
を通り
x軸に平行な直線と直線との交点は、①でとして、

よって、の座標は
の座標はなので、
 ・・・⑦ (2項間漸化式を参照)
 ・・・⑧
⑦で、とおくと、
 ・・・⑨

 ・・・⑩
⑦-⑨より、
は、公比:,初項:等比数列です。⑤,⑩より、

よって、,⑩より、

 ・・・⑪
⑧に代入して、


 ・・・⑫
⑥よりの座標はですが、これは⑧よりなので、の座標はです。⑪,⑫より、
の座標は、
の座標は、
.....[]

(2) の面積は、△ABCの面積と△の面積の和として、で与えられます。
ABC
よりなので、⑫を用いて、
......[]

(3) x座標:(By座標-y座標) = OAOB = ab より、(By座標-y座標) = b
⑫を用いて、

より、
ここでとすると、より (等比数列の極限を参照)
......[]



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