東大理系数学'02年前期[4]

東大理系数学'02年前期[4]

aは正の実数とする。xy平面のy軸上に点P

をとる。関数

のグラフをCとする。C上の点Qで次の条件を満たすものが原点O

以外に存在するようなaの範囲を求めよ。

条件：QにおけるCの接線が直線PQと直交する。

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解答　条件には、直線PQがCの接線と直交する、と書いてありますが、QにおけるCの接線と垂直であってQを通る直線は、この点QにおけるCの法線です。
従って、直線PQがCの法線となりうるのかを考えればよいわけです。
まず、Qのx座標をtとして、Qにおける法線を求めてみます。Qのy座標は

です。

の両辺を微分すると、

　(商の微分法を参照)

原点以外でQを考えるので、

として考えます。
Qにおける法線の傾きは、

　(接線と法線の公式を参照)
よって、Qにおける法線：

整理すると、

法線のy切片は、

･･･①　(直線の方程式を参照)

です。

さて、「QにおけるCの接線が直線PQと直交する。」ような点Qが原点以外に存在する、ということは、どういうことかと言うと、y軸上の点Pを通るようなCの法線がC上のどこかの点(どこになるかはわかりませんけれど、原点以外の点です)を接点として引ける、ということです。
aは、Pのy座標なので、法線のy切片になります。
C上の点Qが存在するためのaの範囲とは何かと言うと、C上のあらゆる点で法線を引いてみたとして、法線とy軸との交点Pがy軸上を動き回りますが、その交点Pのy座標、つまり法線のy切片がとりうる範囲という意味です。
ここの部分のロジックがややこしいですが、この問題は、ここ以外は単純な微分積分の計算問題なので、グラフを描いて法線をいろいろと書き込んで考えてみてください。

結局、何をすればよいのかと言うと、①を