東大理系数学'03年前期[3]
xyz空間において、平面
上の原点を中心とする半径2の円を底面とし、点
を頂点とする円錐をAとする。
次に、平面
上の点
を中心とする半径1の円をH，平面
上の点
を中心とする半径1の円をKとする。HとKを2つの底面とする円柱をBとする。円錐Aと円柱Bの共通部分をCとする。
を満たす実数tに対し、平面
によるCの切り口の面積を
とおく。
(2) Cの体積
を求めよ。
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解答 2円の位置関係を場合わけして断面積を考えますが、結局、同じ式になります。積分計算はかなり面倒です。
なお、図形と方程式や三角関数を復習される方は、円の方程式、三角関数を参照してください。扇形の面積については、一般角を、積分に関しては、不定積分の公式を参照してください。
(1) 平面
によるCの切り口をz軸と垂直にxy平面上まで平行移動させると右図斜線部のようになります(立体を真上から見た図だと思ってください)。円錐Aをy軸負方向から眺めると、稜線は、右下図のように、直線
･･･① に重なって見えます。①において、
のとき、 
a) 
のとき、2円の位置関係は右図のようになります。
は、扇形ODEから三角形ODEを除いた部分(右図で黄色く塗られた部分)の面積で、また、中心角は円周角の2倍なので、
は、円③から”扇形PDEから三角形PDEを除いた部分”を除いた部分(右図で黄緑色に塗られた部分)の面積で、 ∴ 
b) 
のとき、2円の位置関係は右図のようになります。
はa)の場合と同じです。
は扇形PDEから三角形PDEを除いた部分の面積で、これもa)の場合と同じです。
よって、
......[答]
はθ の式で与えられているので、置換積分を行い、tの積分をθ の積分に直します。
を微分して、
∴ 
t：
のとき、θ ：
よって、∴ 
.......[答]
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とする。
のとき、
をθ で表せ。
で切った部分に相当するのは、円：
･･･②
で切った部分に相当するのは、円：
･･･③
，F
とします。
なので、右図で
です。
(
)の場合、
(
)の場合に分かれます。
のうち、線分DEから右側の部分の面積を
，左側の面積を
とします。
(
です)
