東大理系数学'09年前期[4]
aを正の実数とし、空間内の2つの円板
を考える。
をy軸の回りに
回転して
に重ねる。ただし回転はz軸の正の部分をx軸の正の方向に傾ける向きとする。この回転の間に
が通る部分をEとする。Eの体積を
とし、Eと
との共通部分の体積を
とする。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を求めよ。
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解答 (1)はまだしも、(2)は難問です。過去問に類似の計算問題があるだけに、積分計算に手を焼いて涙を飲んだ受験生も多いだろうと思います。
円板
：
･･･① 
を回転するので、体積を計算すると言ってもなかなかイメージが湧かないかも知れませんが、要は、立体Eを回転軸(本問ではy軸)に垂直な平面で切ったときの断面Fの面積を回転軸に沿って積分すればよいわけです(定積分と体積を参照)。円板を回転すると思わないで、断面Fだけに注目し、右図(上がy軸方向から見た図、下がz軸方向から見た図)のように円板を平面
(
)で切ったときにできる線分を回転すると考えます。円板の領域の不等式①において
として、
，
②は線分を表します。線分上の点でy軸との距離が最小となるのは線分の中点
で、距離の最小値はaです。線分上の点でy軸との距離が最大となるのは両端
で、距離の最大値は三平方の定理より
です。
線分②をy軸のまわりに回転するとき線分の通過領域は、半径aの円と半径
に挟まれた領域の中にあり、円板
を
回転して円板
の位置まで回転させるので、線分②の通過領域は右図の水色着色部分になります。
(1) 右図水色着色部分のうち
の部分の断面積
は、半径
の円の面積から半径aの円の面積を引いて
をかけたものになります。 立体Eはzx平面(
)に関して対称なので、 
......[答]
(2) 
は右上図水色着色部分の面積
を積分したものになります。
と
の違いは、右図の赤線枠で囲まれた部分2カ所の面積が追加される点にあります。 
として、赤線枠で囲まれた部分1個の面積は、扇形OBCの面積から直角三角形OABの面積を引くことにより、
･･･③これより、
は、
＋③×2として、 として、
とすればよいのですが、
という積分が出てきて、
を利用して、
と置いても、 となり、積分計算が手に負えません。試験場では、積分計算を試行錯誤する(泥沼にハマるでしょう)よりも、ここで断念して次の問題に進んでしまうのが賢明ですが、本問にこだわるのであれば、
を聞いているのではなく、極限値：
を聞いている、ということに注意します。
とすると、立体Eの肉厚(外側の円と内側の円の半径差)が小さくなり、
がある値に近づいてきそうです。
がaにかかわらず定数値：
になることからすると、
は
になりそうだ、と見当をつけます。ということになれば、極限を求めるときに、はさみうちにするのだろう、という方針が立ちます。
なので、
よりも大きくなるもの
を探せばよい、ということになります。
ここで、そもそも積分計算自体が困難なことを考えてください。積分計算を行ってから
ではさみうちにするのではなく、積分計算ができる形のものを探して
にするのだろう、ということになるでしょう。つまり、断面積の時点で
よりも大きくなるものを探すべきです。
③よりも大きくなるものとして、扇形OBCをもってくると、
としたときに無限大に発散してしまうので、もう少し小さくて③よりも大きくなるもの、例えば右図の台形ABFCを考えます(他にも考えられます)。
台形ABFCの面積は直角三角形OCFの面積から直角三角形OABの面積を引いたものです。両者の相似比は
：aなので、面積比は
：
になり、直角三角形OABの面積が
であることから、台形ABFCの面積は、 これは、③よりも大きく、
となります。この右辺を
とすると、(1)の結果を使って、 
がわかればよいので、実は定積分を計算する必要はない(積分の形からaと無関係な有限確定値になることは明らかで、
)のですが、一応計算しておきます。
この積分は、
とおくと、
，k：
のとき、φ：
より、∴ 
より、 
......[答]
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，
，
･･･②
とすると、右辺→
となるので、