東大理系数学'09年前期[5]
(1) 実数xが
，
をみたすとき、次の不等式を示せ。 (2) 次の不等式を示せ。
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解答 試行錯誤は必要ですが、しっかり計算して得点しておきたい問題です。
(1)は、いきなり(右辺)－(左辺)では、指数の扱いが面倒なので対数を考えます。なるべく微分しやすい形に整理しましょう。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。
(1) 与不等式両辺の自然対数を考えても不等号の向きは変わりません。 
･･･①①を示せばよいのですが、この形で(右辺)－(左辺)として微分するとlogが残って厄介です。そこで、
，
で場合分けして、xをかけた式を示すことにします。 (i) 
のとき、①両辺にxをかけると、 
･･･②この場合は、以下で②が成り立つことを示します。
･･･③とおきます。
よって、
は単調増加で、
従って、
も単調増加で、
よって、②が成り立ちます。 (ii) 
のとき、①両辺にxをかけると、 
･･･④この場合は、以下で④が成り立つことを示します。
③のように
をおくと、
よって、
は単調減少で、
従って、
は単調増加で、
よって、④が成り立ちます。 (i)，(ii)より、
，
をみたすとき、
が成り立ちます。
(2) 問題文の不等式
･･･⑤は非常にきわどい不等式になっていて、電卓で計算してみると(試験場ではこうは行きませんが)、
，
となっていて、粗雑な評価では示せません。(1)の不等式を利用するにしても、
とか
，
，
を単に代入するのでは、⑤の形を作ることができません。
⑤には、0.99と0.9999が出てくるのですが、 
，
となるので、(1)の不等式の
には
をかけ、
には
をかけて
とするとうまく行きそうです。
そこで、(1)の不等式の両辺に
をかけてみます。 
を代入すると、
∴ 
･･･⑥
左辺の形に合わせて(1)の不等式の両辺に
をかけると、
を代入すると、
∴ 
･･･⑦
⑥，⑦より、⑤が示せました。
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