東大理系数学'12年前期[1]
次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
，
は原点を通り、Dとの共通部分が線分となるものとする。その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとるとき、x軸と
のなす角θ (
)の余弦
を求めよ。
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解答 x軸と
のなす角θ (
)を考えよ、というヒントがついているので、あとは計算あるのみです。
まず、領域D (右図黄緑色着色部)の境界線について、円C：
と直線
との交点を求めると、
とおくと、直線
の方程式は
です。
ここで、
より、
･･･①
これと円Cとの交点Pのx座標は、
∴ 
，
原点Oではない交点のx座標は、
より、
注．右図からも、
より、
より、
とすると、
なので、
，
∴ 
∴ 
このとき、
，
，
なので、
，
より、
，
，
を、
，
，
を満たす角として、①より
における増減表は以下の通り(関数の増減を参照)。
よって、Lは、
のとき、最大値：
......[答]
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