東大理系数学'23年前期[1]
(1) 正の整数kに対し、
とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
(2) 正の整数nに対し、
とおく。極限を求めよ。


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解答　まずは肩慣らし、という問題です。

(1) とおくと(置換積分を参照)、においては，，x：のとき、t：
・kが偶数のとき、において、 (三角関数を参照)
において、，

(不定積分の公式を参照)より、
　･･･①
・kが奇数のとき、において、，つまり、
()より、
より、やはり①となります。

よって、kの偶奇がいずれにしても、

(2)
　(定積分を参照)
(1)を用いて、

　　･･････
辺々加えると、
をかけて、
　･･･②
左辺について、
ここでとすると(区分求積法を参照)、
②の右辺についても、
よって、②でとすると、はさみうちの原理より、
......[答]



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