東大理系数学'23年前期[1]

(1) 正の整数kに対し、
とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
(2) 正の整数nに対し、
とおく。極限を求めよ。


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解答 まずは肩慣らし、という問題です。

(1) とおくと(置換積分を参照)においてはxのとき、t
kが偶数のとき、において、 (三角関数を参照)
において、

(不定積分の公式を参照)より、
 ・・・@
kが奇数のとき、において、,つまり、
()より、
より、やはり@となります。

よって、kの偶奇がいずれにしても、

(2)
 (定積分を参照)
(1)を用いて、

  ・・・・・・
辺々加えると、
をかけて、
 ・・・A
左辺について、
ここでとすると(区分求積法を参照)
Aの右辺についても、
よって、Aでとすると、はさみうちの原理より、
......[]



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