整式を考える。

(1) を実数を係数とする整式とし、をで割った余りをとおく。をで割った余りとをで割った余りが等しいことを示せ。

(2) a，bを実数とし、とおく。をで割った余りをとおき、をで割った余りをとおく。がに等しくなるようなa，bの組をすべて求めよ。

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(1) より、　･･･�@

より、　･･･�A
をで割った商を，余りをとおくと、

　･･･�B

が3次式なので、は2次式です。�Bを微分すると、

　･･･�C

�Bでとして、�@より、

　･･･�D

�Bでとして、�@より、

　･･･�E

�Cでとして、�@，�Aより、

　･･･�F

をで割った商を，余りをとおくと、

　･･･�G

はと同様2次式で、�Bより、

　･･･�H

をで割った商を，余りをとおくと、

中括弧内をとおくと、

　･･･�I

　･･･�J

，は2次式で、A，B，C，a，b，cを実数とし、，とおくと、，
�Iでとすると、�@よりなので、

　∴ 　･･･�K

�Iでとすると、�@よりなので、

　∴ 　･･･�L

�Jでとすると、�Aより，また�@を用いて、

　∴ 　･･･�M

�Mを�Lに代入して、，これと�Kより、，さらに�Mより、，よって、　∴
よって、をで割った余りとをで割った余りが等しいことが示されました。

(2) より、，，，　･･･�N　とおきます。

をで割った商を，3次式で割った余りの2次式をとすると、

　･･･�O

　･･･�P

�Oでとすると、�Nより，，また�@よりで、

　･･･�Q
　･･･�R

�Pでとすると、�Nより，また�Aよりで、

　･･･�S

をで割った商を，余りをとすると、より、

　･･･(21)

(21)でとすると、

　･･･(22)

(21)でとすると、

　･･･(23)

とすると、より、

　･･･(24)

　∴

kは実数なので、

・のとき、�N，�Qより，で、(22)は満たされ、さらに(24)より、

よって、，，
�Rより、，(23)は満たされ、�Sより、で、(24)の左辺は0，(24)の右辺は0で、(24)も満たされます。よって、，は適。　･･･(25)

・のとき、�N，�Q，�Sより，，で、さらに(24)より、　∴

よって、，，
�Rより、ですが、(23)の左辺は，右辺は2となり、(23)が成立せず、不適です。

・のとき、�N，�Q，�Sより，，で、さらに(24)より、　∴

よって、，，
�Rより、で、(23)が成立します。
(22)は、左辺も右辺もで成立します。なので(24)も成立します。よって、，は適。　･･･(26)

(25)，(26)より、 ......[答]

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