東大理系数学'23年前期[5]
整式
を考える。
(1) 
を実数を係数とする整式とし、
を
で割った余りを
とおく。
を
で割った余りと
を
で割った余りが等しいことを示せ。 (2) a，bを実数とし、
とおく。
を
で割った余りを
とおき、
を
で割った余りを
とおく。
が
に等しくなるようなa，bの組をすべて求めよ。
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解答 問題文を読んでびっくりさせられますが、これは東大数学の1つの特徴で、困難な状況におかれても冷静に論理的に問題解決に当たれるか、という資質を見ようとしているのです。怖じ気づくようでは東大合格は望めません。
(1) 
より、
･･･① (因数定理を参照) 
が3次式なので、
は2次式です。③を微分すると、③で
として、①より、 
･･･⑤③で
として、①より、 
･･･⑥④で
として、①，②より、 
･･･⑦
･･･⑧
は
と同様2次式で、③より、
･･･⑨これと⑧，⑨より、
中括弧内を
とおくと、 
･･･⑩両辺を微分すると、
･･･⑪
，
は2次式で、A，B，C，a，b，cを実数とし、
，
とおくと、
，
⑩で
とすると、①より
なので、
∴ 
･･･⑫⑩で
とすると、①より
なので、 
∴ 
･･･⑬⑪で
とすると、②より
，また①を用いて、 
∴ 
･･･⑭⑭を⑬に代入して、
，これと⑫より、
，さらに⑭より、
，よって、
∴ 
よって、
を
で割った余りと
を
で割った余りが等しいことが示されました。 注．上記では、余りの2次式を
，
と具体的において考えましたが、具体的におかなくても、 
と
の差をとり、これは
で割り切れるので、
(2) 
より、
，
，
，
(k，m，dは実数) ･･･⑮ とおきます。 
を3次式
で割った商を
，余りの2次式を
と (A，B，Cは実数)すると、
･･･⑯両辺を微分すると、
･･･⑱
･･･⑲
･･･⑳
･･･(21)(21)で
とすると、 
･･･(22)(21)で
とすると、 
･･･(23)(21)両辺を微分すると、
とすると、
，⑮より、
･･･(24)⑱を(22)に代入すると、
∴ 
kは実数なので、
・
のとき、⑮，⑱より
，
で、(22)は満たされ、さらに(24)より、
よって、
，
，⑮より、
⑲より、
，(23)は満たされ、⑳より、
で、(24)の左辺は0，(24)の右辺は0で、(24)も満たされます。よって、
，
は適。 ･･･(25) ・
のとき、⑮，⑱，⑳より
，
，
で、さらに(24)より、
∴ 
よって、
，
，
⑲より、
ですが、(23)の左辺は
，右辺は2となり、(23)が成立せず、不適です。 ・
のとき、⑮，⑱，⑳より
，
，
で、さらに(24)より、
∴ 
よって、
，
，
⑲より、
で、(23)が成立します。(22)は、左辺も右辺も
で成立します。
なので(24)も成立します。よって、
，
は適。 ･･･(26) (25)，(26)より、
......[答]
注．上記は、整式
を3次式
で割ると、余りは2次式
であって、
より、
，
，
になる、ということを用いて解答していますが、十分性が心配な方のために確かめをしておきます。 
を
で割った余りを
とおくと、
で、
で、
で、
これより、
，
，つまり、
を
で割った余りは
で
です。従って、余りの
の7乗
を
で割った余りは
です。
を
で割った余りを
とおくと、
で、
で、
で、
これより、
，
，
，つまり、
を
で割った余りは
で
です。従って、余りの
の7乗
を
で割った余りは
です。いずれの場合も、そもそも
なので
になっているわけです。
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より、
･･･②
を
で割った商を
，余りを
とおくと、
を
で割った商を
，余りを
とおくと、
を
で割った商を
，余りを
とおくと、
で割り切れて、
，即ち、
，
とすると、⑮より
，
，また①より
で、
とすると、⑮より
，また②より
で、
を
で割った商を
，余りを
とすると、
より、
のとき、
，
です。
のとき、
，
です。
