早大理工数学'10年[4]
xyz空間において、2点P
，Q
を考える。線分PQをx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲面Sと、2つの平面
および
で囲まれる立体の体積を求めよ。 (2) (1)の立体の平面
による切り口を、平面
上において図示せよ。 (3) 定積分
の値を
と置換することによって求めよ。これを用いて、(2)の切り口の面積を求めよ。
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解答 
という定積分は、早大、慶大の入試でよく見かけます。
Iを移項して2で割ると、
カッコ内の積分は、
を利用して、
(C：積分定数)
を使って置換積分する技巧を使うように指定されています。なお、置換積分(その3)を参照してください。
(1) 
(線分PQ上の点では
)平面
と直線PQの交点Rは、 ∴ 
，
点Rをx軸の周りに1回転してできる円の半径は点R
とx軸との距離、即ち、点
との距離に等しく、その2乗は、 
･･･①この円は、曲面Sを平面
で切ったときにできる円です。円の面積
は、 点Rが線分PQ上にあるときは、
より、x座標kは、
となります。
曲面Sと、2つの平面
および
で囲まれる立体Kの体積Vは、
より、 
......[答]
(2) (1)の立体K内の点を
とすると、立体Kを平面
(
)で切ったときにできる断面の円内の点
は、(1)に出てきた、
を中心とし半径の2乗を①とする円周の内側となるので、①より、 
(
)
を満たします。ここで、x座標kをxに書き換え、
とすると、立体Kの平面
による切り口内の点
は、
(
)を満たします。境界線(右図実線)は、
･･･②と、直線
，直線
ですが，②は、
を漸近線(右図青線)とする双曲線です。
これより、切り口を図示すると、右図黄緑色着色部分(境界線を含む)。
とすると、
，
，
とすると、
，
，
(
)，
よって、t：
のとき、s：
②より、
(2)の図より切り口はz軸，x軸に関して対称で、切り口の面積は、双曲線と直線
，x軸、z軸で囲まれる部分の面積の4倍に等しく、 
......[答]
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